Általános Dirichlet-sor

Az általános Dirichlet-sor a matematikai analízisben egy

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

alakú sor, ahol ${\displaystyle a_{n}}$ és ${\displaystyle s}$ komplex számok, és ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$ pozitív számok szigorúan monoton növő sorozata, ami a végtelenbe tart.

Egy egyszerű megfigyelés szerint a közönséges Dirichlet-sor is általános Dirichlet-sor:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

ahol ${\displaystyle \lambda _{n}=\log n}$.

A hatványsorok is speciális általános Dirichlet-sorok:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(e^{-s})^{n},}$

ahol ${\displaystyle \lambda _{n}=n}$.

Tulajdonságok

Ha a Dirichlet-sor konvergens ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i}$-ban, akkor egyenletesen konvergens az

${\displaystyle |{\text{arg}}(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},}$

tartományban, és konvergens minden ${\displaystyle s=\sigma +ti}$-ben, ahol ${\displaystyle \sigma >\sigma _{0}}$.

Ha a sor nem mindenütt, csak a komplex sík egy részén konvergens, akkor létezik egy ${\displaystyle \sigma _{c}}$, hogy a sor ${\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}$-ben konvergens, és ${\displaystyle \sigma <\sigma _{c}}$-ben divergens. A mindenütt divergens sorokra ${\displaystyle \sigma _{c}=\infty }$, és a mindenütt konvergens sorokra ${\displaystyle \sigma _{c}=-\infty }$. Ez a konvergencia abszcisszája.

A konvergencia abszcisszája

A konvergencia abszcisszájának alternatív definíciója:

${\displaystyle \sigma _{c}=\inf\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{ konvergens minden }}s{\text{ -re, amire Re}}(s)>\sigma \}}$.

A ${\displaystyle \sigma =\sigma _{c}}$ egyenest a konvergencia egyenesének nevezik, a konvergencia félsíkja pedig

${\displaystyle \mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :{\text{Re}}(s)>\sigma _{c}\}.}$

A Dirichlet-sorok konvergenciájában a konvergencia abszcisszája, egyenese és félsíkja rendre a hatványsorok konvergenciasugarának, határának és tartományának felel meg.

A hatványsorok határához hasonlóan a Dirichlet-sorok konvergenciaegyenesén is nyitott kérdés a konvergencia. Azonban, ha egy függőleges egyenes egyes pontjain a sor konvergál, és más pontjain divergál, akkor az az egyenes csak a konvergenciaegyenes lehet. A bizonyítás implicit adott a konvergencia abszcisszájának a definíciójában. Például, a

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},}$

sor konvergens ${\displaystyle s=-\pi i}$-ben, mert az alternáló harmonikus sort adja, és divergál ${\displaystyle s=0}$-ban, mert a harmonikus sort adja, így ${\displaystyle \sigma =0}$ a konvergencia egyenese.

Tegyük fel, hogy egy Dirichlet-sor nem konvergál ${\displaystyle s=0}$-ban. Ekkor definíció szerint ${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$, és ${\displaystyle \sum a_{n}}$ divergál. Másrészt, ha konvergál ${\displaystyle s=0}$-ban, akkor ${\displaystyle \sigma _{c}\leq 0}$ és ${\displaystyle \sum a_{n}}$. Ezzel két képlet adódik ${\displaystyle \sigma _{c}}$ számítására ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konvergenciájától függően, amit különböző konvergenciakritériumok segítenek belátni. Ezek a Cauchy-Hadamard-tétel képleteihez hasonlóak:

Ha ${\displaystyle \sum a_{k}}$ divergens, vagyis ${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$, akkor ${\displaystyle \sigma _{c}}$-re:

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

Ha ${\displaystyle \sum a_{k}}$ konvergens, vagyis ${\displaystyle \sigma _{c}\leq 0}$, akkor ${\displaystyle \sigma _{c}}$-re:

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{n}}}.}$

Az abszolút konvergencia abszcisszája

Az abszolút konvergencia definíciója szerint egy ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$ Dirichlet-sor abszolút konvergens, ha

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,}$

konvergens. Az abszolút konvergenciából következik a konvergencia, de ez fordítva már nem igaz.

Ha egy Dirichlet-sor abszolút konvergens ${\displaystyle s_{0}}$-ban, akkor abszolút konvergens minden s -re, amire ${\displaystyle {\text{Re}}(s)>{\text{Re}}(s_{0})}$. Ha a sor csak a komplex számsík egy részén abszolút konvergens, akkor van olyan ${\displaystyle \sigma _{a}}$, hogy a sor abszolút konvergens minden ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$-ra, és a sor vagy nem konvergál, vagy feltételesen konvergál, ha ${\displaystyle \sigma <\sigma _{a}}$. Ez a ${\displaystyle \sigma _{a}}$ az abszolút konvergencia abszcisszája.

Ekvivalensen, az abszolút konvergencia abszcisszája definiálható, mint:

${\displaystyle \sigma _{a}=\inf\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{abszolút konvergens minden }}s{\text{-re, amire Re}}(s)>\sigma \}}$.

Az abszolút konvergencia egyenese, illetve félsíkja a közönséges konvergenciához hasonlóan definiálható. A sor konvergenciájától függően ${\displaystyle \sigma _{a}}$ kétféleképpen számolható:

Ha ${\displaystyle \sum |a_{k}|}$ divergens, akkor ${\displaystyle \sigma _{a}}$-ra:

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}{\lambda _{n}}}.}$

Ha ${\displaystyle \sum |a_{k}|}$ konvergens, akkor ${\displaystyle \sigma _{a}}$-ra:

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{\lambda _{n}}}.}$

Általában az abszolút konvergencia abszcisszája nem egyezik meg a konvergencia abszcisszájával, ezért van egy sáv, amiben a sor feltételesen konvergens. A sáv szélessége:

${\displaystyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}.}$

Ha a sáv szélessége 0, akkor

${\displaystyle \sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

Mindezek a képletek használhatók a közönséges Dirichlet-sorra is, a ${\displaystyle \lambda _{n}=\log n}$ helyettesítéssel.

Analitikus tulajdonság

Egy Dirichlet-sor által reprezentált függvény

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

analitikus a konvergencia félsíkján. Sőt, minden ${\displaystyle k=1,2,3,...}$-ra:

${\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}s}.}$

További általánosítások

A Dirichlet-sor tovább általánosítható többváltozós esetre, ahol ${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}}$, k = 2, 3, 4,..., és komplex esetre, ahol ${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}}$, m = 1, 2, 3,...

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a General Dirichlet series című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• G. H. Hardy, and M. Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge University Press, first edition, 1915
• E. C. Titchmarsh, The theory of functions, Oxford University Press, second edition, 1939
• Tom Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer, second edition, 1990
• A.F. Leont'ev, Entire functions and series of exponentials (in Russian), Nauka, first edition, 1982
• A.I. Markushevich, Theory of functions of a complex variables (translated from Russian), Chelsea Publishing Company, second edition, 1977
• J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, fifth edition, 1973