Théorème de Laguerre

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En mathématiques, le théorème de Laguerre est un théorème d'analyse pour approcher les zéros d'un polynôme. Ce théorème doit son nom à Edmond Laguerre.

Théorème de Laguerre (cas réel)[1] —  Si P ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i {\textstyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}} est un polynôme unitaire de degré n {\displaystyle n} , ayant n {\displaystyle n} racines réelles, alors ces racines sont toutes dans l'intervalle [ u , v ] {\displaystyle [u,v]} où u {\displaystyle u} et v {\displaystyle v} sont les racines du polynôme

n x 2 + 2 a n − 1 x + ( 2 ( n − 1 ) a n − 2 − ( n − 2 ) a n − 1 2 ) {\displaystyle nx^{2}+2a_{n-1}x+\left(2(n-1)a_{n-2}-(n-2)a_{n-1}^{2}\right)}

Ce théorème est un cas réel du théorème de Gauss-Lucas[Comment ?].

Théorème de Laguerre (cas complexe)[2] —  Soit f ( z ) = z n + a n − 1 z n − 1 + . . . + a 0 {\displaystyle f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{0}} un polynôme unitaire de degré n {\displaystyle n} à coefficients complexes. Considérons un point z 0 {\displaystyle z_{0}} tel que f ′ ( z 0 ) ≠ 0 {\textstyle f'(z_{0})\neq 0} . Alors, il existe au moins une racine de f {\displaystyle f} dans le disque fermé centré en z 0 {\displaystyle z_{0}} et de rayon n | f ( z 0 ) | | f ′ ( z 0 ) | {\textstyle n{\frac {|f(z_{0})|}{|f'(z_{0})|}}} .

Démonstration

On peut supposer f ( z 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f(z_{0})\neq 0} et écrire f ( z ) {\displaystyle f(z)} sous la forme f ( z ) = ∏ k = 1 n ( z − ζ k ) {\textstyle f(z)=\prod _{k=1}^{n}(z-\zeta _{k})} . On a alors :

f ′ ( z 0 ) = ∑ i = 0 n ∏ j = 0 j ≠ i n ( z 0 − ζ j ) = ∑ k = 0 n f ( z 0 ) z 0 − ζ k {\displaystyle f'(z_{0})=\sum _{i=0}^{n}\displaystyle \prod _{j=0 \atop j\neq i}^{n}(z_{0}-\zeta _{j})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(z_{0})}{z_{0}-\zeta _{k}}}}

Donc,

f ′ ( z 0 ) f ( z 0 ) = ∑ k = 1 n 1 z 0 − ζ k {\displaystyle {\frac {f'(z_{0})}{f(z_{0})}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z_{0}-\zeta _{k}}}}

Et il vient

| f ′ ( z 0 ) | | f ( z 0 ) | ≤ ∑ k = 1 n 1 | z 0 − ζ k | ≤ n min k | z 0 − ζ k | , {\displaystyle {\frac {|f'(z_{0})|}{|f(z_{0})|}}\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{|z_{0}-\zeta _{k}|}}\leq {\frac {n}{\min _{k}|z_{0}-\zeta _{k}|}},}

Autrement dit,

min k | z 0 − ζ k | ≤ n | f ( z 0 ) | | f ′ ( z 0 ) | , {\displaystyle \min _{k}|z_{0}-\zeta _{k}|\leq n{\frac {|f(z_{0})|}{|f'(z_{0})|}},}

ce qui termine la preuve.

Note

  1. ↑ Laguerre Edmond Nicolas, français, 1834-1886, sur le site de Serge Mehl
  2. ↑ (en) Abdul Aziz, « A new proof of Laguerre's theorem about the zeros of polynomials », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 33, no 1,‎ , p. 131-138 (DOI 10.1017/S0004972700002951, lire en ligne)
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