Règle de dérivation des fonctions réciproques

En analyse, la règle de dérivation des fonctions réciproques est une formule qui explicite la dérivée de la réciproque d'une fonction bijective et dérivable ${\displaystyle f}$ en fonction de la dérivée de ${\displaystyle f}$. Autrement dit, si ${\displaystyle f^{-1}}$ est la réciproque de ${\displaystyle f}$ , et que ${\displaystyle f^{-1}\left(y\right)=x}$ si et seulement si ${\displaystyle f\left(x\right)=y}$, alors dans la notation de Lagrange,

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}\left(a\right)\right)}}}$.

Cette formule vaut dès lors que ${\displaystyle f}$ est continue et injective sur un intervalle ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle f}$ étant dérivable en ${\displaystyle f^{-1}\left(a\right)}$ (${\displaystyle \in I}$) avec ${\displaystyle f'\left(f^{-1}\left(a\right)\right)\neq 0}$ .

Démonstration

Démonstration analytique

Soient ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f^{-1}}$deux fonctions dérivables réciproques, avec ${\displaystyle f^{-1}\left(x_{0}\right)=y_{0}}$. Alors en appliquant la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement, on déduit :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}}\\[5pt]&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}\left(x_{0}\right)}{f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)-f\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}}.\end{aligned}}}$

Or, ${\displaystyle f^{-1}}$ est continue, donc ${\displaystyle y}$ tend vers ${\displaystyle y_{0}}$ lorsque ${\displaystyle x}$ tend vers ${\displaystyle x_{0}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)&=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {y-y_{0}}{f\left(y\right)-f\left(y_{0}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{f'\left(y_{0}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{f'\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}}.\end{aligned}}}$

Démonstration par le théorème de dérivation des fonctions composées

Soient ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle f^{-1}}$deux fonctions dérivables réciproques, on a alors :

${\displaystyle f\circ f^{-1}\left(x\right)=x\Rightarrow \left(f\circ f^{-1}\right)'(x)=1}$.

Or, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées :

${\displaystyle \left(f\circ f^{-1}\right)'(x)=\left(f^{-1}\right)'(x)\times \left(f'\circ f^{-1}(x)\right)}$.

Donc, en isolant ${\displaystyle \left(f^{-1}\right)'\left(x\right)}$, on déduit :

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)'\left(x\right)={\frac {1}{f'\circ f^{-1}\left(x\right)}}}$.

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