Polynôme séquentiel

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Un polynôme séquentiel (ou polynôme de Littlewood)[1] est un polynôme dont les coefficients appartiennent tous à {-1, 1}.

Un tel polynôme peut donc se mettre sous la forme :

P ( X ) = ∑ i = 0 l − 1 a i X i {\displaystyle P(X)=\sum _{i=0}^{l-1}a_{i}X^{i}}

où la suite des a i {\displaystyle a_{i}} s'écrit :

a = ( a 0 , . . . , a l − 1 ) {\displaystyle a=(a_{0},...,a_{l-1})}

et est appelée « séquence ».

On dit que deux séquences a et b sont complémentaires lorsque :

∀ j ∈ [ 1 , l − 1 ] , ∑ i = 0 l − 1 − j a i a i + j + b i b i + j = 0 {\displaystyle \forall j\in [1,l-1],\sum _{i=0}^{l-1-j}a_{i}a_{i+j}+b_{i}b_{i+j}=0}

On appelle L {\displaystyle {\mathcal {L}}} l'ensemble des longueurs l pour lesquelles il existe des séquences complémentaires. Cet ensemble fait encore l'objet de recherches.

On peut lire dans le sujet du concours X-ESPCI de Polytechnique et de l'ESPCI, filière PC, de 2006 :

« Ces polynômes ont été introduits lors de recherches sur la spectroscopie multi-fentes. Ils ont donné lieu à des développements mathématiques en combinatoire, théorie des codes, analyse harmonique, et à de très nombreuses applications en optique, télécommunications, théorie des radars et acoustique. »

Note et référence

  1. ↑ (en) Peter Borwein, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, New York, Springer, , 220 p. (ISBN 978-0-387-95444-8, LCCN 2002019558, lire en ligne), p. 1-58, les appelle « polynômes de Littlewood ».

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