Nombre narcissique

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Pour les articles homonymes, voir Armstrong.

Exemples de nombres narcissiques.

Un nombre narcissique (ou nombre d'Armstrong de première espèce, ou — en anglais — PPDI, pour pluperfect digit invariant)[1] est un entier naturel n {\displaystyle n} non nul qui est égal à la somme des puissances p {\displaystyle p} -ièmes de ses chiffres en base dix, où p {\displaystyle p} désigne le nombre de chiffres de n {\displaystyle n}  :

n = ∑ k = 0 p − 1 x k 10 k = ∑ k = 0 p − 1 ( x k ) p avec x k ∈ { 0 , … , 9 } et x p − 1 ≠ 0. {\displaystyle n=\sum _{k=0}^{p-1}x_{k}10^{k}=\sum _{k=0}^{p-1}(x_{k})^{p}\quad {\text{avec}}\quad x_{k}\in \{0,\ldots ,9\}\quad {\text{et}}\quad x_{p-1}\neq 0.}

Exemples

  • Tous les entiers de 1 à 9 sont narcissiques.
  • Les dix termes suivants de la suite des 88 nombres narcissiques (suite A005188 de l'OEIS) sont 153, 370, 371, 407, 1 634, 8 208, 9 474, 54 748, 92 727 et 93 084.
    • 153 = 1 3 + 5 3 + 3 3 {\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}} .
    • 93084 = 9 5 + 3 5 + 0 5 + 8 5 + 4 5 {\displaystyle 93084=9^{5}+3^{5}+0^{5}+8^{5}+4^{5}} .
  • Pour toute base b ⩾ 2 {\displaystyle b\geqslant 2} entière, l'ensemble des nombres narcissiques dans cette base est fini.
Démonstration

Si n {\displaystyle n} est un nombre narcissique en base b {\displaystyle b} fixée, alors :

  • n = ∑ k = 0 p − 1 x k ⋅ b k > b p − 1 {\displaystyle n=\sum _{k=0}^{p-1}x_{k}\cdot b^{k}>b^{p-1}}
  • n = ∑ k = 0 p − 1 x k p − 1 ⩽ p ( b − 1 ) p − 1 {\displaystyle n=\sum _{k=0}^{p-1}x_{k}^{p-1}\leqslant p(b-1)^{p-1}}

Or, le théorème des croissances comparées nous assure qu'il existe un p 0 {\displaystyle p_{0}} tel que pour tout p ⩾ p 0 {\displaystyle p\geqslant p_{0}} , b p − 1 > p ( b − 1 ) p − 1 {\displaystyle b^{p-1}>p(b-1)^{p-1}} .

Le nombre de chiffres d'un nombre narcissique étant majoré, ces derniers le sont également, en d'autres termes, ils sont en nombre fini.

  • Le plus grand est 115132219018763992565095597973971522401[1].

Historique

Dans son livre "536 puzzles and curious problems" , Henri Dudeney (1857 - 1930) pose le problème de trouver des nombres égaux à la somme des cubes de leurs chiffres autres que 407 et 370 (pb 143) [2].

Variantes des nombres d'Armstrong

  • Un nombre d'Armstrong[3] de quatrième espèce, ou perfect digit invariant (PDI) est un entier n qui est égal à la somme des puissances q-ièmes de ses chiffres, mais cette fois pour un entier q > 0 quelconque, non nécessairement égal au nombre p de chiffres de n (un tel n n'est donc généralement pas un nombre narcissique) : n = ∑ k = 0 p − 1 x k 10 k = ∑ k = 0 p − 1 ( x k ) q avec x k ∈ { 0 , … , 9 } , {\displaystyle n=\sum _{k=0}^{p-1}x_{k}10^{k}=\sum _{k=0}^{p-1}(x_{k})^{q}\quad {\text{avec}}\quad x_{k}\in \{0,\ldots ,9\},} pour un certain q > 0.Intuitivement, il est clair que si p est le nombre exact de chiffres de n et augmente, q tend à augmenter.
Démonstration

Comme x p − 1 ≠ 0 {\displaystyle x_{p-1}\neq 0} , n ≥ 10 p − 1 {\displaystyle n\geq 10^{p-1}} . D'autre part, n = ∑ k = 0 p − 1 ( x k ) q ≤ 9 q p {\displaystyle n=\sum _{k=0}^{p-1}(x_{k})^{q}\leq 9^{q}p} . D'où 9 q p ≥ 10 p − 1 {\displaystyle 9^{q}p\geq 10^{p-1}} .

Par théorème de croissance comparée, il vient que pour un p donné, q est nécessairement au-dessus d'un rang donné, qui croît avec p.

Remarque : cela ne prouve pas pour autant l'existence de q.

  • Pour les nombres d'Armstrong de troisième espèce (PDDI), voir l'article Nombre de Münchhausen.
  • Un nombre d'Armstrong n de deuxième espèce vérifie quant à lui :
n = ∑ k = 0 p − 1 x k 10 k = ∑ k = 0 p − 1 ( x k ) k + 1 avec x k ∈ { 0 , … , 9 } {\displaystyle n=\sum _{k=0}^{p-1}x_{k}10^{k}=\sum _{k=0}^{p-1}(x_{k})^{k+1}\quad {\text{avec}}\quad x_{k}\in \{0,\ldots ,9\}} .
  • On peut également considérer les nombres d'Armstrong dans une base autre que dix.
  • Les nombres égaux à une puissance de la somme de leurs chiffres sont les nombres généralisés de Dudeney.

Références

  1. ↑ a et b (en) Eric W. Weisstein, « Narcissistic Number », sur MathWorld
  2. ↑ (en) Henry Ernest Dudeney, 536 puzzles and curious problems, (lire en ligne), p. 43
  3. ↑ (en) Les quatre définitions d'Armstrong
  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres