Moments de Hausdorff

En mathématiques, le problème des moments de Hausdorff est celui des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une suite (m_n) de réels soit la suite des moments

${\displaystyle m_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}\,d\mu (x)\,}$

d'une mesure de Borel ${\displaystyle \mu }$ sur le segment [0, 1].

Le nom du problème est associé au mathématicien allemand Felix Hausdorff.

Dans le cas m₀ = 1, ceci équivaut à l'existence d'une variable aléatoire réelle X dans l'intervalle [0, 1] telle que pour tout n, l'espérance de Xⁿ soit égale à m_n.

Ce problème est voisin du problème des moments de Stieljes défini sur l'intervalle ${\displaystyle [0,\infty [}$, celui de Toeplitz sur ${\displaystyle \{t\in \mathbb {C} \mid \left|t\right|=1\}}$ et celui de Hamburger sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mais à la différence de ceux-ci, la solution, si elle existe, est unique.

Il a été étendu aux espaces bidimensionnels^[1] et aux suites tronquées^[2].

Séries monotones

Hausdorff a montré^[3],[4] qu'il existe une solution ${\displaystyle \mu }$ si et seulement si la suite (m_n) est complètement monotone, c'est-à-dire si ses suites de différences satisfont

${\displaystyle (-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}\geq 0}$

pour tout n, k ≥ 0, où Δ est l'opérateur différence finie donné par

${\displaystyle (\Delta m)_{n}=m_{n+1}-m_{n}.}$

Une telle condition est nécessaire, en effet

${\displaystyle (-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}(1-x)^{k}\,\mathrm {d} \mu (x)\geq 0}$.

Par exemple

${\displaystyle \Delta ^{4}m_{6}=m_{6}-4m_{7}+6m_{8}-4m_{9}+m_{10}=\int x^{6}(1-x)^{4}\,\mathrm {d} \mu (x)\geq 0}$.

L'unicité de ${\displaystyle \mu }$ se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass :

Suite tronquée

Les problèmes d'approximation en physique conduisent à l'usage de suites tronquées ${\displaystyle (m_{0},m_{1},...,m_{p})}$. Dans ce cas, si l'on définit les matrices de Hankel suivantes

${\displaystyle A_{k}=\left(m_{(i+j)}\right)_{i,j=0}^{k}\,,\;\;\;B_{k}=\left(m_{(i+j+1)}\right)_{i,j=0}^{k}\,,\;\;\;C_{k}=\left(m_{(i+j)}\right)_{i,j=1}^{k}}$

la condition nécessaire et suffisante d'existence sur ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ est^[2]

• pour ${\displaystyle p=2k}$

${\displaystyle A_{k}\geq 0\quad {\text{et}}\quad (a+b)\,B_{k-1}\geq a\,b\,A_{k-1}+C_{k}}$

• pour ${\displaystyle p=2k+1}$

${\displaystyle b\,A_{k}\geq B_{k}\geq a\,A_{k}.}$

Références

Voir aussi

Ouvrages

• (en) William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 2, John Wiley & Sons, 1971
• (en) Naum Akhiezer (trad. du russe par N. Kemmer), The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis, New York, Hafner Publishing, 1965

Article connexe

Méthode des moments (physique statistique)

• Portail de l'analyse