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L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.
Formule de Fresnel Les fonctions S (x ) et C (x ) non normalisées. ∫ 0 + ∞ cos ( t 2 ) d t = ∫ 0 + ∞ sin ( t 2 ) d t = 1 2 π 2 . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\cos(t^{2})~\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }\sin(t^{2})~\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.} Ces égalités sont équivalentes à l'expression de l'intégrale de Fresnel complexe (par identification des parties réelle et imaginaire dans un sens et par combinaison linéaire dans l'autre) :
∫ 0 + ∞ e − i t 2 d t = π 2 1 − i 2 . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t={\sqrt {\dfrac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\mathrm {i} }{2}}.} Convergence de l'intégrale Le calcul explicite (voir infra ) montrera que l'intégrale de Fresnel converge, mais on peut s'en assurer plus simplement :
par le changement de variable s = t 2 ∫ 1 + ∞ e − i t 2 d t {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t} ∫ 1 + ∞ e − i s s 1 / 2 d s {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} s}}{s^{1/2}}}~\mathrm {d} s} d'après la règle d'Abel , pour tout λ > 0 , l'intégrale ∫ 1 + ∞ e − i s s λ d s {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} s}}{s^{\lambda }}}~\mathrm {d} s} [ 1] Définition Les fonctions S (x )C (x ) Les fonctions de Fresnel sont des fonctions spéciales , définies par les intégrales et développement en série entière associés :
S ( x ) = ∫ 0 x sin ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 3 ( 2 n + 1 ) ! ( 4 n + 3 ) , {\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},} C ( x ) = ∫ 0 x cos ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 1 ( 2 n ) ! ( 4 n + 1 ) . {\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.} Ces fonctions sont parfois définies avec l'argument π / 2 t 2 S (x )C (x ) 2 π {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}} x .
La formule de Fresnel vue précédemment est donc la limite en +∞ des deux fonctions S et C non normalisées.
Calcul de l'intégrale de Fresnel Parmi les diverses méthodes, en voici deux : la première utilise la technique de Feynman, la seconde repose sur les intégrales de contour [ 2]
Par une intégrale à paramètre On considère pour tout réel t la fonction de ℝ+ dans ℂ définie par
u ↦ e − ( u 2 + i ) t 2 u 2 + i . {\displaystyle u\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }.} Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ+ et majorée en module par u ↦ 1 u 2 {\displaystyle u\mapsto {\tfrac {1}{u^{2}}}} +∞ .
Il est donc possible de poser f , la fonction définie pour tout t par l'intégrale à paramètre suivante :
f ( t ) = ∫ 0 + ∞ e − ( u 2 + i ) t 2 u 2 + i d u . {\displaystyle f(t)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}}}{u^{2}+\mathrm {i} }}~\mathrm {d} u.} On montre que f est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C1 sur ℝ+ * avec
∀ t ∈ R + ∗ , f ′ ( t ) = − 2 t e − i t 2 ∫ 0 + ∞ e − u 2 t 2 d u . {\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ^{+*},~f'(t)=-2t\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}t^{2}}\mathrm {d} u.}
Démonstration
On applique le théorème de convergence dominée .
Continuité sur ℝ et nullité à l'infini Pour tout u + *, la fonction R → C , t ↦ e − ( u 2 + i ) t 2 u 2 + i {\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }} Pour tout réel t , la fonction R + → C , u ↦ e − ( u 2 + i ) t 2 u 2 + i {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} ,\ u\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }} Condition de domination : ∀ ( t , u ) ∈ R × R + , | e − ( u 2 + i ) t 2 u 2 + i | ≤ 1 1 + u 4 {\displaystyle \forall (t,u)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+},~\left|{{\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}}} \over {u^{2}+\mathrm {i} }}\right|\leq {\frac {1}{\sqrt {1+u^{4}}}}} u ↦ 1 1 + u 4 {\displaystyle u\mapsto {\tfrac {1}{\sqrt {1+u^{4}}}}} + . Conclusion : f {\displaystyle f} Classe C1 sur ℝ+ * et valeur de la dérivée. Pour tout u ∈ ℝ+ R + ∗ → C , t ↦ e − ( u 2 + i ) t 2 u 2 + i {\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}\rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto {\mathrm {e} ^{-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}} \over u^{2}+\mathrm {i} }} R + ∗ → C , t ↦ − 2 t exp [ − ( u 2 + i ) t 2 ] , {\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}\rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]},} Pour tout t + *, la fonction R + → C , u ↦ − 2 t exp [ − ( u 2 + i ) t 2 ] {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} ,\ u\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}} Condition de domination : confinons le paramètre t {\displaystyle t} ] a , b [ {\displaystyle ]a,b[} 0 < a < b {\displaystyle 0<a<b} ∀ ( t , u ) ∈ ] a , b [ × R + , | − 2 t exp [ − ( u 2 + i ) t 2 ] | ≤ 2 b e − u 2 a 2 {\displaystyle \forall (t,u)\in ]a,b[\times \mathbb {R} ^{+},~\left|-2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}\right|\leq 2b~\mathrm {e} ^{-u^{2}a^{2}}} u ↦ 2 b e − u 2 a 2 {\displaystyle u\mapsto 2b~\mathrm {e} ^{-u^{2}a^{2}}} + . Conclusion : f {\displaystyle f} C 1 {\displaystyle C^{1}} + * et ∀ t ∈ R + ∗ , f ′ ( t ) = − 2 t e − i t 2 ∫ 0 + ∞ e − u 2 t 2 d u . {\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ^{+*},~f'(t)=-2t\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u^{2}t^{2}}\mathrm {d} u.}
En simplifiant l'expression de f' et en l'intégrant de 0 à +∞ , on en déduit que
∫ 0 + ∞ e − i t 2 d t = 1 π ∫ 0 + ∞ 1 u 2 + i d u . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{u^{2}+\mathrm {i} }}~\mathrm {d} u.} Démonstration
Le changement de variable v = ut t + * :
f ′ ( t ) = − 2 e − i t 2 ∫ 0 + ∞ e − v 2 d v . {\displaystyle f'(t)=-2\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-v^{2}}~\mathrm {d} v.} L'intégrale définie est l'intégrale de Gauss , qui vaut π 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}} f :
f ′ ( t ) = − π e − i t 2 {\displaystyle f'(t)=-{\sqrt {\pi }}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}} Par conséquent :
0 − ∫ 0 + ∞ 1 u 2 + i d u = ( lim t → + ∞ f ( t ) ) − f ( 0 ) = ∫ 0 + ∞ f ′ ( t ) d t = − π ∫ 0 + ∞ e − i t 2 d t . {\displaystyle 0-\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{u^{2}+\mathrm {i} }}~\mathrm {d} u=\left(\lim _{t\to +\infty }f(t)\right)-f(0)=\int _{0}^{+\infty }f'(t)~\mathrm {d} t=-{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t.}
On se sert alors de l'expression 1 u 2 + i {\textstyle {\frac {1}{u^{2}+\mathrm {i} }}} u 2 − i u 4 + 1 {\textstyle {\frac {u^{2}-\mathrm {i} }{u^{4}+1}}}
∫ 0 + ∞ u 2 u 4 + 1 d u = ∫ 0 + ∞ 1 u 4 + 1 d u = π 2 2 {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{u^{2} \over u^{4}+1}~\mathrm {d} u=\int _{0}^{+\infty }{1 \over u^{4}+1}~\mathrm {d} u={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}} pour en déduire que
∫ 0 + ∞ e − i t 2 d t = π 2 1 − i 2 {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}~\mathrm {d} t={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\mathrm {i} }{2}}} Par intégration complexe Il est aussi possible d'intégrer f ( z ) = exp ( − z 2 ) {\displaystyle f(z)=\exp(-z^{2})} secteur circulaire T R {\displaystyle T_{R}} 0 , R , 1 2 ( 1 + i ) R {\displaystyle 0,~R,~{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+\mathrm {i} )~R} R {\displaystyle R}
Contour utilisé pour le calcul. ∮ f ( z ) d z = ∫ 0 R e − t 2 d t ⏟ I 1 ( R ) + ∫ 0 π / 4 i R e i t e − R 2 exp ( 2 i t ) d t ⏟ I 2 ( R ) − ∫ 0 R e i π 4 e − i t 2 d t ⏟ I 3 ( R ) {\displaystyle \oint f(z)\,\mathrm {d} z=\underbrace {\int _{0}^{R}\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} _{I_{1}(R)}+\underbrace {\int _{0}^{\pi /4}\mathrm {i} R\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\exp(2\mathrm {i} t)}\,\mathrm {d} t} _{I_{2}(R)}-\underbrace {\int _{0}^{R}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t} _{I_{3}(R)}} Intéressons nous d'abord à I 2
| I 2 ( R ) | ≤ ∫ 0 π / 4 R e − R 2 cos ( 2 t ) d t = ∫ 0 π / 2 R 2 e − R 2 cos u d u {\displaystyle |I_{2}(R)|\leq \int _{0}^{\pi /4}R\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\cos(2t)}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {R}{2}}\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\,\mathrm {d} u} après un changement de variable u = 2t [ 0 , π 2 ] {\displaystyle \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right]} cos donne
∀ u ∈ [ 0 , π 2 ] , 1 − 2 π u ≤ cos u ≤ 1 {\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad 1-{\dfrac {2}{\pi }}u\leq \cos u\leq 1} donc
∀ u ∈ [ 0 , π 2 ] , e − R 2 cos u ≤ e R 2 ( 2 π u − 1 ) {\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad \mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\leq \,\mathrm {e} ^{R^{2}\left({\frac {2}{\pi }}u-1\right)}} donc
∫ 0 π / 2 R 2 e − R 2 cos u d u ≤ π 4 R ( 1 − e − R 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {R}{2}}\,\mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\,\mathrm {d} u\leq {\dfrac {\pi }{4R}}\left(1-\mathrm {e} ^{-R^{2}}\right)} Le théorème des gendarmes donne ainsi lim R → + ∞ I 2 ( R ) = 0 {\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }I_{2}(R)=0} intégrale de Gauss , lim R → + ∞ I 1 ( R ) = π 2 {\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }I_{1}(R)={\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}} lim R → + ∞ I 3 ( R ) = e i π 4 ∫ 0 + ∞ e − i t 2 d t {\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }I_{3}(R)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t}
La fonction f est entière donc le théorème intégral de Cauchy assure que ∮ f ( z ) d z = 0. {\displaystyle \oint f(z)\,\mathrm {d} z=0.}
Dès lors,
e i π 4 ∫ 0 + ∞ e − i t 2 d t = π 2 {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t={\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}} donc
∫ 0 + ∞ e − i t 2 d t = e − i π 4 π 2 = π 2 1 − i 2 {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}{\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}}={\sqrt {\dfrac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\mathrm {i} }{2}}} Remarque Un calcul identique montre que plus généralement, pour tout nombre complexe β dont la partie réelle appartient à [0 ; 1[ , ∫ 0 + ∞ t β e − i t 2 d t = e − i π 4 ( β + 1 ) Γ ( β + 1 2 ) 2 , {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }t^{\beta }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} t^{2}}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}(\beta +1)}{\dfrac {\Gamma \left({\frac {\beta +1}{2}}\right)}{2}},} où Γ désigne la fonction gamma . En adaptant le choix du contour, on peut même démontrer cette égalité pour R e ( β ) ∈ ] − 1 , 1 [ {\displaystyle \mathrm {Re} (\beta )\in \left]-1,1\right[} voir supra ), équivaut au calcul du § « Exemple » de l'article sur le théorème intégral de Cauchy . Références ↑ D. Ghorbanzadeh et al. Mathématiques du signal : Rappels de cours et exercices résolus , Dunod , 2008 , 3e éd. (lire en ligne) , p. 6-7 ↑ On peut aussi passer en coordonnées polaires et appliquer le théorème de Fubini , cf. Florian Lemonnier, « Développements pour l'agrégation externe, Intégrale de Fresnel », sur ENS Rennes Articles connexes Portail de l'analyse 
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{+*}\rightarrow \mathbb {C} ,\ t\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0579b30702a6f34ff14403a711534edf31dedd9a)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {C} ,\ u\mapsto -2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aad8b540e21010bf1d7e5559a19cdee043cddbe)
![{\displaystyle ]a,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b51ec208e9582e11a4f340a42d4f17fb4748fcb)
![{\displaystyle \forall (t,u)\in ]a,b[\times \mathbb {R} ^{+},~\left|-2t\exp {[-(u^{2}+\mathrm {i} )t^{2}]}\right|\leq 2b~\mathrm {e} ^{-u^{2}a^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4917758dba210088c9bd4c76596ba25a9809cc)
![{\displaystyle 2(I+J)={\sqrt {2}}\left[\arctan(u{\sqrt {2}}-1)+\arctan(u{\sqrt {2}}+1)\right]_{0}^{+\infty }=\pi {\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca603a17a467e83e7b2453e9394f857877125c0c)
![{\displaystyle \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df4de95bf04c0f95cbc80d2bcf31dd19b178aec)
![{\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad 1-{\dfrac {2}{\pi }}u\leq \cos u\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044f05a80bafa31729ab647ddbcfd24164427906)
![{\displaystyle \forall u\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right],\quad \mathrm {e} ^{-R^{2}\cos u}\leq \,\mathrm {e} ^{R^{2}\left({\frac {2}{\pi }}u-1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd2d85b63f15d5f9aae54b76f2260783501a97c)
![{\displaystyle \mathrm {Re} (\beta )\in \left]-1,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d5a8b5b2809b0839201a2c4777648d1b5755ef)
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