Inégalité de Cauchy

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Ne doit pas être confondu avec Inégalité de Cauchy-Schwarz.

L'inégalité de Cauchy, établie par Augustin Louis Cauchy, est une relation permettant d'estimer les dérivées d'une fonction holomorphe. Elle découle immédiatement de la formule intégrale de Cauchy.

Énoncé

Soit f une fonction holomorphe dans un disque de centre ω₀ et de rayon R et soit r un réel de ]0, R[. On note :

M\left(r\right)=\sup\{|f\left(\omega \right)|\mid |\omega -\omega _{0}|=r\}

Alors, pour tout entier naturel n,

\left|{\frac {f^{(n)}\left(\omega _{0}\right)}{n!}}\right|\leq {\frac {M\left(r\right)}{r^{n}}}

Démonstration

Voir le § Principale conséquence de l'article sur la formule intégrale de Cauchy.

Conséquence

On peut déduire le théorème de Liouville de cette inégalité.

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