Fonction positive

Cet article détaille plusieurs propriétés de positivité d'une fonction.

Une fonction C est semi-définie positive si elle est paire et : ∀ p , ∀ x 1 , … , x p , ∀ μ 1 , … , μ p , ∑ α = 1 p ∑ β = 1 p μ α μ β C ( x β − x α ) ≥ 0 {\displaystyle \forall p,\forall x_{1},\ldots ,x_{p},\forall \mu _{1},\ldots ,\mu _{p},\sum _{\alpha =1}^{p}\sum _{\beta =1}^{p}\mu _{\alpha }\mu _{\beta }C\left(x_{\beta }-x_{\alpha }\right)\geq 0} La covariance d'une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 est semi-définie positive ; inversement, une fonction semi-définie positive est la covariance d'une fonction aléatoire gaussienne.


Une fonction γ est conditionnellement définie négative, si : ∀ p , ∀ x 1 , … , x p , ∀ μ 1 , … , μ p , ∑ α = 1 p μ α = 0 ⇒ ∑ α = 1 p ∑ β = 1 p μ α μ β γ ( x β − x α ) ≤ 0 {\displaystyle \forall p,\forall x_{1},\ldots ,x_{p},\forall \mu _{1},\ldots ,\mu _{p},\sum _{\alpha =1}^{p}\mu _{\alpha }=0\Rightarrow \sum _{\alpha =1}^{p}\sum _{\beta =1}^{p}\mu _{\alpha }\mu _{\beta }\gamma \left(x_{\beta }-x_{\alpha }\right)\leq 0}

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