Feuille brownienne

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En mathématiques, une feuille brownienne est une généralisation multiparamétrique du mouvement brownien à un champ gaussien, plus précisément une généralisation du paramètre "temps" t ∈ R + {\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}} d'un mouvement brownien B t {\displaystyle B_{t}} de temps t ∈ R + n {\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}^{n}} .

La dimension exacte n {\displaystyle n} de l'espace du nouveau paramètre temporel varie selon les auteurs. L'article présent suit John B. Walsh et définit la feuille (n,d)-brownienne, tandis que certains auteurs définissent la feuille brownienne spécifiquement uniquement pour n = 2 {\displaystyle n=2} [1].

(n,d)-feuille brownienne

Un processus gaussien B = ( B t , t ∈ R + n ) {\displaystyle B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})} de dimension d {\displaystyle d} est une (n,d)-feuille brownienne, si

  • la moyenne est E [ B t ] = 0 {\displaystyle \mathbb {E} [B_{t}]=0} pour tous t = ( t 1 , … t n ) ∈ R + n {\displaystyle t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}
  • la fonction de covariance est[2]
cov ⁡ ( B s ( i ) , B t ( j ) ) = { ∏ l = 1 n s l ∧ t l si  i = j , 0 sinon {\displaystyle \operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}s_{l}\wedge t_{l}&{\text{si }}i=j,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}
pour tous 1 ≤ i , j ≤ d {\displaystyle 1\leq i,j\leq d} .

Propriétés

  • B ( 0 , t 2 , … , t n ) = B ( t 1 , 0 , … , t n ) = ⋯ = B ( t 1 , t 2 , … , 0 ) = 0 {\displaystyle B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0} presque sûrement.

Exemples

  • La ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} -feuille brownienne est le mouvement brownien en R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} .
  • La ( 1 , d ) {\displaystyle (1,d)} -feuille brownienne est le mouvement brownien en R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} .
  • La ( 2 , 1 ) {\displaystyle (2,1)} -feuille brownienne X t , s {\displaystyle X_{t,s}} est le mouvement brownien de dimension R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} et de temps ( t , s ) ∈ R + × R + {\displaystyle (t,s)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}} .

Bibliographie

  • John B. Walsh, An introduction to stochastic partial differential equations, Springer Berlin Heidelberg, (ISBN 978-3-540-39781-6), p. 269
  • Davar Khoshnevisan, Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields, Springer (ISBN 978-0387954592)

Références

  1. ↑ John B. Walsh, An introduction to stochastic partial differential equations, Springer Berlin Heidelberg, (ISBN 978-3-540-39781-6), p. 269
  2. ↑ Davar Khoshnevisan et Yimin Xiao, « Images of the Brownian Sheet », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 359, no 7,‎ (arXiv math/0409491)
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