Dérivée seconde discrète

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En analyse numérique, on introduit parfois dans les problèmes de discrétisation la notion de dérivée seconde discrète, qui tend à reproduire l'opération de dérivation deux fois. Son principe repose sur l'approximation de cette dérivée faite en prenant deux points séparés d'une distance non infinitésimale.

Définition

Soit une fonction f de la variable réelle x. On pose δx une quantité supposée « petite ». Alors la dérivée seconde discrète de f en un point x est la fonction :

D 2 f : x ↦ f ( x + δ x ) + f ( x − δ x ) − 2 f ( x ) δ x 2 {\displaystyle D^{2}f:x\mapsto {\frac {f\left(x+\delta x\right)+f\left(x-\delta x\right)-2f\left(x\right)}{\delta x^{2}}}}

Lorsque δ x → 0 {\displaystyle \delta x\to 0} , on retrouve la dérivée usuelle, définie par la valeur limite du rapport ci-dessus.

Exemple

Soit la fonction z définie par :

z : t ↦ − 1 2 ⋅ g ⋅ t 2 + V 0 ⋅ t + Z 0 {\displaystyle z:t\mapsto -{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}+V_{0}\cdot t+Z_{0}}

Cette fonction correspond à la position d'un point matériel en chute libre, lancé verticalement à une vitesse V0 d'une hauteur Z0.

La dérivée seconde exacte de cette fonction est :

z ¨ ( t ) = − g {\displaystyle {\ddot {z}}\left(t\right)=-g}

La dérivée seconde discrète est :

D 2 z ( t ) = z ( t + δ t ) + z ( t − δ t ) − 2 z ( t ) δ t 2 = − g {\displaystyle D^{2}z\left(t\right)={\frac {z\left(t+\delta t\right)+z\left(t-\delta t\right)-2z\left(t\right)}{\delta t^{2}}}=-g}

Dans ce cas précis, la dérivée seconde discrète donne un résultat exact — dans la plupart des cas en revanche, et en particulier si la fonction n'est pas assez régulière, une erreur peut s'accumuler et donner des résultats aberrants.

Voir aussi

  • Laplacien discret.
  • icône décorative Portail de l'analyse