Constante de Cahen

En mathématiques, la constante de Cahen est définie comme une somme infinie de fractions unitaires, avec des signes alternés, à partir de la suite de Sylvester ${\displaystyle (s_{i})}$ :

${\displaystyle C=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0{,}64341054629}$.

En regroupant ces fractions deux par deux, on peut aussi voir cette constante comme la somme des inverses des termes d'indices pairs de la suite de Sylvester ; cette représentation de la constante de Cahen est son développement par l'algorithme glouton pour les fractions égyptiennes :

${\displaystyle C=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{s_{2j}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots }$.

Son nom vient d'Eugène Cahen, qui est le premier à l'avoir formulée et étudiée^[1].

C'est un nombre transcendant^[2] de la classe S^[3] et son développement en fraction continue est^[2],[4] ${\displaystyle [0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]}$, où la suite ${\displaystyle (q_{n})}$ est définie par récurrence par ${\displaystyle q_{0}=q_{1}=1}$ et ${\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}}$.

Notes et références

• Arithmétique et théorie des nombres