Wieferichin alkuluku

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Wieferichin alkuluku on sellainen alkuluku ${\displaystyle p}$, joka toteuttaa kongruenssin

${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1}$ ${\displaystyle ({\mbox{mod }}p^{2})}$.

Fermat'n pienen lauseen mukaan jokainen pariton alkuluku ${\displaystyle p}$ toteuttaa ehdon ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1}$ ${\displaystyle ({\mbox{mod }}p)}$. Siis luku ${\displaystyle p}$ jakaa tasan luvun ${\displaystyle 2^{p-1}-1}$, joten luku ${\displaystyle (2^{p-1}-1)/p}$ on aina kokonaisluku. Luku ${\displaystyle p}$ on Wieferichin alkuluku, jos tämäkin kokonaisluku on tasan jaollinen luvulla ${\displaystyle p}$.

Wieferich osoitti vuonna 1909, että jos ns. Fermat'n suuren lauseen ensimmäisellä tapauksella on olemassa vastaesimerkki eksponentilla ${\displaystyle p}$, niin tämä eksponentti on Wieferichin alkuluku.

Wieferichin alkulukuja on pyritty systemaattisesti etsimään tietokonetta apuna käyttäen. Toistaiseksi ainoat tunnetut Wieferichin alkuluvut ovat ${\displaystyle 1093}$ ja ${\displaystyle 3511}$. Laajamittaisten tietokoneajojen avulla on saatu selville, että muita lukua ${\displaystyle 4\cdot 10^{12}}$ pienempiä Wieferichin alkulukuja ei ole olemassa.

Aiheesta muualla

• Wieferich@Home (Arkistoitu – Internet Archive)