Puolisuunnikassääntö

Funktiota f(x) (sininen viiva) voidaan arvioida lineaarisella funktiolla (punainen viiva).

Puolisuunnikassääntö on likiarvoyhtälö alla olevan määrätyn integraalin laskemiseksi.

∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}

Puolisuunnikassääntö perustuu siihen, että funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävää pinta-ala arvioidaan puolisuunnikkaaksi, jonka pinta-ala määritetään. Siis seuraa, että

∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) f ( a ) + f ( b ) 2 . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}

Puolisuunnikassääntö on yksi numeerisen integroinnin kaavoista, joita kutsutaan Newton-Cotes kaavoiksi. Muita Newton-Cotes kaavoja ovat Simpsonin sääntö ja suorakaidesääntö. Puolisuunnikassääntö on erityisen käyttökelpoinen ja tarkka jaksollisten funktioiden integraalien approksimoinnissa.

Puolisuunnikassäännön yleinen muoto

Perusmuotoisen puolisuunnikassäännön tuloksia voidaan parantaa jakamalla väli useampiin osaväleihin ja soveltamalla puolisuunnikassääntöä jokaisella osavälillä erikseen. Jaetaan väli N osaväliin, jonka päätepisteet ovat x 1 , x 2 , … , x N + 1 {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{N+1}} . Merkitään kunkin osavälin pituutta kirjaimella "h". Välille, joka jakautuu "N" yhtä pitkään väliin "h=(b-a)/N", voidaan puolisuunnikassääntö kirjoittaa seuraavasti:

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 2 ∑ k = 1 N ( f ( x k + 1 ) + f ( x k ) ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k+1})+f(x_{k})\right).}

Jos osavälit ovat eripituisia, voidaan puolisuunnikassääntö kirjoittaa seuraavasti:

∫ a b f ( x ) d x ≈ 1 2 ∑ k = 1 N ( x k + 1 − x k ) ( f ( x k + 1 ) + f ( x k ) ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(x_{k+1}-x_{k}\right)\left(f(x_{k+1})+f(x_{k})\right).}

Puolisuunnikassäännön virhe

Puolisuunnikassäännön tuottama virhe on integraalin tarkan arvon ja numeerisen arvon välinen erotus:

virhetermi = ∫ a b f ( x ) d x − b − a N [ f ( a ) + f ( b ) 2 + ∑ k = 1 N − 1 f ( a + k b − a N ) ] {\displaystyle {\text{virhetermi}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}

Virhetermi saadaan johdettua integraalilaskennan väliarvolauseen ja Lagrangen polynomin approksimaation avulla. Tällöin on olemassa c välillä [a, b] siten, että

virhetermi = − ( b − a ) 3 12 N 2 f ″ ( c ) . {\displaystyle {\text{virhetermi}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(c).}

Jos funktion toinen derivaatta saa positiivisen arvon, niin virhetermi on negatiivinen ja puolisuunnikassäännön antama arvo integraalille on suurempi kuin todellinen. Geometrisesti tämä tarkoittaa tilannetta, jossa todellinen käyrä jää piirretyn puolisuunnikkaan sisään. Päinvastainen tilanne on silloin, kun funktion toinen derivaatta on negatiivinen ja käyrä kulkee siis piirretyn suoran yläpuolella.

Puolisuunnikassäännön hyvää tarkkuutta juuri jaksollisten funktioiden tapauksessa voidaan perustella intuitiivisesti. Kun jaksollista funktiota integroidaan yhden jakson välillä piirretyt puolisuunnikkaat aliarvioivat ja yliarvioivat funktion kuvaaja kutakuinkin yhtä monta kertaa. Tällöin virheet kumoutuvat ja approksimaatio on varsin lähellä integraalin tarkkaa arvoa.

Toinen muoto virhetermille saadaan tutkimalla edellä johdettua virhetermiä silloin, kun tutkittava väli jaetaan yhä useampaan osaväliin eli, kun N → ∞. Tämä asymptoottinen virhetermi voidaan kirjoittaa seuraavasti:

asymptoottinen virhetermi = − ( b − a ) 2 12 N 2 [ f ′ ( b ) − f ′ ( a ) ] . {\displaystyle {\text{asymptoottinen virhetermi}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}.}

Esimerkki

Lasketaan integraalille arvo puolisuunnikassäännöllä.

∫ 0 , 1 0 , 3 e x d x {\displaystyle \int _{0,1}^{0,3}e^{x}dx}

Olkoot yhden osavälin pituus h=0,05. Tällöin osavälejä on yhteensä 4.

T ( e x , 0 , 05 ) = 0 , 05 2 ( e 0 , 10 + 2 e 0 , 15 + 2 e 0 , 20 + 2 e 0 , 25 + e 0 , 30 ) ≈ 0 , 24474 {\displaystyle T(e^{x},0,05)={\frac {0,05}{2}}(e^{0,10}+2e^{0,15}+2e^{0,20}+2e^{0,25}+e^{0,30})\approx 0,24474}

Korjataan vielä saatua approksimaatiota virhetermillä:

virhetermi = − ( 0 , 3 − 0 , 1 ) 3 12 ⋅ 4 2 f ″ ( c ) = − 5 , 08918 ⋅ 10 − 5 {\displaystyle {\text{virhetermi}}=-{\frac {(0,3-0,1)^{3}}{12\cdot 4^{2}}}f''(c)=-5,08918\cdot 10^{-5}}

Sovelluksia

Numeerisia menetelmiä käytetään etenkin reaalimaailman ongelmia ratkottaessa.

Numeerisia menetelmiä sovelletaan nykyisin tietokoneella, jolla menetelmän soveltaminen on huomattavasti nopeampaa ja helpompaa kuin laskimella. Puolisuunnikassäännön avulla integraaleja voidaan laskea esimerkiksi Excelillä, Pythonilla ja MATLABilla.

Lähteet

  • Trapezoidal Rule for Numerical Integration
  • Trapezoidal rule Wikipedia
  • Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons
  • Burden R. L., Faires, J. D. (1989) Numerical Analysis. United States of America.: PWS-KENT Publishing Company
  • Daniels, R. W. (1987) An introduction to Numerical Methods and Optimizing techniques. Ireland: Elsevier North-Holland, Inc.
  • Jäppinen, P., Kupiainen, A., Räsänen, M. (2006): Lukion Calculus: Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä. Keuruu: Otava.

Kirjallisuutta

  • Kaleva, Osmo: Numeerinen analyysi. Opintomoniste 163. Tampere: TTKK, 1993. ISBN 951-721-941-5.

Aiheesta muualla

  • Trapezoidal Rule for Numerical Integration
  • Notes on the convergence of trapezoidal-rule quadrature (Arkistoitu – Internet Archive)
  • Trapezoidal Rule of Integration – Notes, PPT, Videos, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple, Multiple Choice Tests at Holistic Numerical Methods Institute
  • C Language Implementation of Trapezoidal Rule (Arkistoitu – Internet Archive)