Osamäärän derivoimissääntö

Osamäärän derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä.

Lauseen muotoilu

Olkoon funktio ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ esitettävissä funktioiden ${\displaystyle g}$ ja ${\displaystyle h}$ osamääränä ${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {g\left(x\right)}{h\left(x\right)}}}$. Olkoot lisäksi funktiot ${\displaystyle g}$ ja ${\displaystyle h}$ derivoituvia pisteessä ${\displaystyle a\in A}$ ja ${\displaystyle h\left(x\right)\neq 0}$. Tällöin ${\displaystyle f'\left(a\right)={\frac {g'\left(a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h'\left(a\right)}{h\left(a\right)^{2}}}}$.

Todistus

Derivaatan määritelmän mukaan

${\displaystyle f'\left(a\right)=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {f\left(a+\Delta a\right)-f\left(a\right)}{\Delta a}}}$

Sijoitetaan funktion ${\displaystyle f}$ tilalle osamäärä ${\displaystyle g/h}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {{\frac {g\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)}}-{\frac {g\left(a\right)}{h\left(a\right)}}}{\Delta a}}}$

Lavennetaan osamäärät samannimisiksi

${\displaystyle =\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {{\frac {g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}-{\frac {g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}}{\Delta a}}}$

Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään

${\displaystyle =\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}}}$

Lisätään ja vähennetään termi ${\displaystyle g\left(a\right)h\left(a\right)}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)+g\left(a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}}}$

Otetaan ${\displaystyle h\left(a\right)}$ ja ${\displaystyle -g\left(a\right)}$ yhteisiksi tekijöiksi

${\displaystyle =\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {\left(g\left(a+\Delta a\right)-g\left(a\right)\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)\left(h\left(a+\Delta a\right)-h\left(a\right)\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}}}$

Supistetaan termillä ${\displaystyle \Delta a}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {{\frac {g\left(a+\Delta a\right)-g\left(a\right)}{\Delta a}}h\left(a\right)-g\left(a\right){\frac {h\left(a+\Delta a\right)-h\left(a\right)}{\Delta a}}}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}}$

Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja-arvojen summa, samoin osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä)

${\displaystyle ={\frac {\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {g\left(a+\Delta a\right)-g\left(a\right)}{\Delta a}}h\left(a\right)-g\left(a\right)\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {h\left(a+\Delta a\right)-h\left(a\right)}{\Delta a}}}{\lim _{\Delta a\to 0}h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}}$

Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden ${\displaystyle g}$ ja ${\displaystyle h}$ erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja

${\displaystyle ={\frac {g'\left(a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h'\left(a\right)}{h\left(a\right)^{2}}}}$.

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Määritä funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {x^{2}-2}{2x^{4}+7}}}$ derivaatta pisteessä ${\displaystyle x=2}$.

Funktio ${\displaystyle f}$ voidaan selvästi esittää kahden funktion, ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{2}-2}$ ja ${\displaystyle h\left(x\right)=2x^{4}+7}$ osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä ${\displaystyle x=2}$ ja funktiolla ${\displaystyle h}$ ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä.

Lasketaan ensin funktioiden ${\displaystyle g}$ ja ${\displaystyle h}$ derivaattafunktiot: ${\displaystyle g'\left(x\right)=2x}$, ${\displaystyle h'\left(x\right)=8x^{3}}$. Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee:

${\displaystyle f'\left(2\right)={\frac {g'\left(2\right)h\left(2\right)-g\left(2\right)h'\left(2\right)}{h\left(2\right)^{2}}}}$

Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan

${\displaystyle f'\left(2\right)={\frac {\left(2\cdot 2\right)\left(2\cdot 2^{4}+7\right)-\left(2^{2}-2\right)\left(8\cdot 2^{3}\right)}{\left(2\cdot 2^{4}+7\right)^{2}}}={\frac {28}{1521}}.}$

Esimerkki 2

Määritä funktion ${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {\left|x\right|+1}{\left|x\right|+1}}}$ derivaatta pisteessä ${\displaystyle x=0}$.

Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä ${\displaystyle |x|+1}$ ei ole derivoituva pisteessä ${\displaystyle x=0}$, mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon ${\displaystyle f\left(x\right)=1}$, jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla.

Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota, joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä.

Lähteet

• Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.1 wiki.helsinki.fi. Syksy 1999. Viitattu 3.10.2011. (suomeksi)