Momenttifunktio

Momenttifunktio ^[1] eli momentit generoiva funktio ^[1] eli momenttiemäfunktio ^[2] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty funktio, joka on yleinen menetelmä laskea jakauman tunnuslukuja eli momentteja. Diskreetin jakauman momenttifunktio muodostetaan pistetodennäköisyysfunktion ja jatkuvan jakauman momenttifunktio tiheysfunktion avulla. Jakauma voidaan karakterisoida kätevästi käyttäen pelkästään momenttifunktiota.^[1]

Momenttifunktiolla voidaan laskea jakauman momentit yksinkertaisella tavalla, sen avulla ratkeavat tietyt laskennalliset ja kombinatoriset ongelmat, sillä voidaan käsitellä yksinkertaisesti riippumattomien satunnaismuuttujien summia, helpottavat leveiden jakaumien todennäköisyyksien laskemista, yhdistää todennäköisyyslaskennan kompleksilukulaskentaan, helpottaa suurten lukujen lain soveltamista ja Markovin ketjujen analysointia.^[3]

Määritelmä

Jos ${\displaystyle X}$ on diskreetti satunnaismuuttuja, ${\displaystyle \Omega }$ satunnaismuuttujan perusjoukko ja ${\displaystyle p(x)}$ sen pistetodennäköisyysfunktio. Silloin reaalimuuttujan ${\displaystyle t}$ funktio

${\displaystyle M(t)=E[e^{tX}]}$

on satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ momenttifunktio kunhan odotusarvo

${\displaystyle E[e^{tX}]=\sum _{x\in \Omega }e^{tx}p(x)}$

on olemassa avoimella välillä ${\displaystyle -a<t<a}$ (${\displaystyle \scriptstyle a>0}$). Luku ${\displaystyle a}$ määräytyy siten, että momenttifunktio on äärellisenä olemassa kaikilla välin arvoilla. Momenttifunktio on siten funktion kuvaus

${\displaystyle M(t):\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty ).}$ ^[1][4][3]

Jatkuvan satunnaismuuttujan momenttifunktio määritellään vastaavalla tavalla

${\displaystyle M(t)=E[e^{tX}]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x.}$^[5][4]

Momenttifunktion määrittämiseksi määrätyn integraalin eksponenttifunktio voidaan avata Taylorin sarjaksi, jolloin saadaan jatkuvassa tapauksessa lausekkeet

${\displaystyle M(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }(1+tx+{\tfrac {1}{2!}}t^{2}x^{2}+...)f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =1+tm_{1}+{\tfrac {1}{2!}}t^{2}m_{2}+{\tfrac {1}{3!}}t^{3}m_{3}+...\,,}$

missä ${\displaystyle m_{1},}$ ${\displaystyle m_{2},}$ ${\displaystyle m_{3},}$... ovat momentteja (katso alla).^[4]

Esimerkkejä

Diskreetti satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttuja ${\displaystyle Y}$ saa vain kolme arvoa ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ todennäköisyyksillä ${\displaystyle \{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{6}}\}}$ vastaavasti. Silloin ${\displaystyle Y}$:n jakauman momenttifunktio on

${\displaystyle M(t)={\frac {1}{2}}e^{t}+{\frac {1}{3}}e^{2t}+{\frac {1}{6}}e^{3t}}$

kaikille ${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$ ^[3]

Jatkuva satunnaismuuttuja

Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle Z}$ on tasaisesti jakautunut välille [0,1], on sen tiheysfunktio tällä välillä ${\displaystyle f(z)=1.}$ Silloin momenttifunktio lasketaan

${\displaystyle M(t)=E[e^{tZ}]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tz}f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{1}e^{tz}\cdot 1\,\mathrm {d} z={\frac {e^{t}-1}{t}}.}$ ^[6]

Ominaisuuksia

Momenttifunktiolla on joitakin ominaisuuksia, joita voidaan käyttää hyödyksi yhden tai useamman satunnaismuuttujan jakaumissa. Merkitään satunnaismuuttujien ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ momenttifunktioita ${\displaystyle M_{X}(t)}$ ja ${\displaystyle M_{Y}(t)}$.

• Mikäli ${\displaystyle Y=aX+b}$, niin ${\displaystyle M_{Y}(t)=e^{bt}M_{X}(t).}$
• Jos ${\displaystyle Y=q}$ (aina), niin ${\displaystyle M_{Y}(t)=e^{qt}.}$
• Jos ${\displaystyle M_{X}(t)=M_{Y}(t)}$ muuttujan ${\displaystyle t}$ origon ympäristössä, on satunnaismuuttujilla ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ sama jakauma.
• Jos satunnaismuuttujat ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ ovat riippumattomat, on niiden summan ${\displaystyle Z=X+Y}$ momenttifunktio ${\displaystyle M_{Z}(t)=M_{X}(t)M_{Y}(t).}$ Monitermiset summat muodostetaan vastaavalla tavalla.^[7]

Todennäköisyydet generoiva funktio ${\displaystyle G(t)}$ liittyy momenttifunktioihin seuraavasti:

${\displaystyle G(e^{t})=E[e^{tX}]=M(t).}$ ^[8]

Momentteja

Pääartikkeli: Momentti

Satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukujen joukossa on erilaisia momentteja. Yleensä halutaan käyttää tavallisia momentteja ${\displaystyle E[X^{r}]}$ eli origomomentteja sekä ja keskusmomentteja ${\displaystyle E[(X-\mu )^{r}],}$ missä ${\displaystyle \mu =E[X].}$ Satunnaismuuttujalle voidaan muodostaa myös tekijämomentteja, jotka määritellään ${\displaystyle E[X^{(r)}]=E[X(X-1)(X-2)...(X-r+1)].}$ ^[1]

Momenttifunktio liittyy momentteihin siten, että momenttifunktion r. kertaluvun derivaattojen arvot kohdassa nolla antavat satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ r. origomomentit: ${\displaystyle M(0)^{(r)}=E[X^{r}].}$ Origomomentit saadaan seuraavasti (eksponenttifunktion sarjamuodostelman merkinnöillä):^[1][4]

• ${\displaystyle M(t)=E[e^{tX}]}$, jolloin ${\displaystyle M(0)=E[e^{0\cdot X}]=E[1]=1}$
• ${\displaystyle M'(t)=E[Xe^{tX}]}$, jolloin ${\displaystyle m_{1}=M'(0)=E[Xe^{0\cdot X}]=E[X]}$
• ${\displaystyle M''(t)=E[X^{2}e^{tX}]}$, jolloin ${\displaystyle m_{2}=M''(0)=E[X^{2}e^{0\cdot X}]=E[X^{2}]}$
• ${\displaystyle M^{(r)}(t)=E[X^{r}e^{tX}]}$, jolloin ${\displaystyle m_{r-1}=M^{(r)}(0)=E[X^{r}e^{0\cdot X}]=E[X^{r}]}$

Kaksiulotteinen yhteisjakauma

Origomomentit generoiva funktio

Diskreetit satunnaismuuttujat ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ muodostavat yhteisjakauman todennäköisyysfunktiolla ${\displaystyle f_{XY}(x,y).}$ Yhteisjakauman momenttifunktio on myös kaksiarvoinen funktio

${\displaystyle M_{XY}(t_{X},t_{Y})=E[e^{t_{X}X+t_{Y}Y}]=\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}e^{t_{X}x+t_{Y}y}f_{XY}(x,y).}$ ^[9]

Jatkuvilla satunnaismuuttujilla momenttifunktio kirjoitetaan

${\displaystyle M_{XY}(t_{X},t_{Y})=E[e^{t_{X}X+t_{Y}Y}]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{t_{X}x+t_{Y}y}f_{XY}(x,y)dydx.}$ ^[9]

Kun ${\displaystyle t_{X}=0}$ saadaan satunnaismuuttujan ${\displaystyle Y}$ momenttifunktio

${\displaystyle M_{XY}(0,t_{Y})=E[e^{0\cdot X+t_{Y}Y}]=E[e^{t_{Y}Y}]=M_{Y}(t_{Y})}$ ^[9]

ja arvolla ${\displaystyle t_{Y}=0}$ saadaan satunnaismuuttujan ${\displaystyle X}$ momenttifunktio ${\displaystyle M_{X}(t_{X}).}$ Momenttifunktiosta muodostetaan tarvittavat origomomentit derivoimalla se vaihtelevilla tavoilla. Seuraavat osittaisderivaatat ovat hyödyllisiä:^[9]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t_{X}}}M_{XY}(t_{X},t_{Y})|_{t_{X}=t_{Y}=0}=E[X]\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t_{Y}}}M_{XY}(t_{X},t_{Y})|_{t_{X}=t_{Y}=0}=E[Y]\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t_{X}\partial t_{Y}}}M_{XY}(t_{X},t_{Y})|_{t_{X}=t_{Y}=0}=E[XY]\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{r+s}}{\partial ^{r}t_{X}\partial ^{s}t_{Y}}}M_{XY}(t_{X},t_{Y})|_{t_{X}=t_{Y}=0}=E[X^{r}Y^{s}]\,}$

Keskusmomentit generoivat funktiot

Yhden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan ${\displaystyle E[(X-\mu _{X})^{r}]}$ ja niitä generoiva funktio vastaavasti

${\displaystyle M_{X}^{k}(t)=E[e^{t(X-\mu _{X})}].}$

Näistä toinen derivaatta

${\displaystyle M_{X}^{k\prime \prime }(0)=E[(X-\mu _{X})^{2}]=\sigma _{X}}$

on varianssi.

Kahden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan ${\displaystyle E[(X-\mu _{X})^{r}(Y-\mu _{Y})^{s}]}$ ja niitä generoiva funktio vastaavasti

${\displaystyle M_{XY}^{k}(t_{X},t_{Y})=E[e^{t_{X}(X-\mu _{X})+t_{Y}(Y-\mu _{Y})}].}$

Näistä toinen osittaisderivaatta

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}M_{XY}^{k}(t_{X},t_{Y})|_{t_{X}=t_{Y}=0}=E[(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]=\sigma _{XY}}$

on kovarianssi.

Lähteet

Aiheesta muualla

• http://www.statlect.com/subon2/momgen1.htm
• http://www.le.ac.uk/users/dsgp1/COURSES/MATHSTAT/6normgf.pdf
• https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/MAT135B/materials/ch10.pdf
• http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter10.pdf (Arkistoitu – Internet Archive)
• http://web.am.qub.ac.uk/users/g.gribakin/sor/Chap6.pdf
• http://courses.ncssm.edu/math/Stat_Inst/PDFS/SEC_2_f.pdf (Arkistoitu – Internet Archive)