Kuristusperiaate

Kuristusperiaate (myös kuristuslause) on analyysiin liittyvä lause funktion raja-arvon tai lukujonon raja-arvon määrittämiseksi: olkoot ${\displaystyle b(x)}$, ${\displaystyle a(x)}$ ja ${\displaystyle c(x)}$ määriteltyjä ${\displaystyle d}$:n lähellä siten, että

${\displaystyle \lim _{x\to d}b(x)=\lim _{x\to d}c(x)=A}$ ja

${\displaystyle b(x)\leq a(x)\leq c(x)}$ pätee ${\displaystyle d}$:n lähellä.

Tällöin ${\displaystyle \lim _{x\to d}a(x)=A}$.

Todistus

Todistetaan tapauksessa ${\displaystyle x\to d_{-}}$, tapaus ${\displaystyle x\to d_{+}}$ todistetaan vastaavalla tavalla (jos funktiot ovat lauseen ehtojen mukaisesti määriteltyjä, kun ${\displaystyle x>d}$).

Olkoon ${\displaystyle \epsilon >0}$. Oletuksista seuraa, että on olemassa ${\displaystyle \delta _{1}>0}$ siten, että ${\displaystyle |b(x)-A|<\epsilon }$, kun ${\displaystyle d-\delta _{1}<x<d}$. Samaten on olemassa ${\displaystyle \delta _{2}>0}$ siten, että ${\displaystyle |c(x)-A|<\epsilon }$, kun ${\displaystyle d-\delta _{2}<x<d}$.

Valitaan ${\displaystyle \delta :=\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$. Nyt ${\displaystyle A-\epsilon <b(x)\leq a(x)\leq c(x)<A+\epsilon }$, kun ${\displaystyle d-\delta <x<d}$, joten tällöin pätee ${\displaystyle A-\epsilon <a(x)<A+\epsilon }$. Tämä on yhtäpitävää epäyhtälön ${\displaystyle |a(x)-A|<\epsilon }$ kanssa.

Täten ${\displaystyle \lim _{x\to d_{-}}a(x)=A}$. ${\displaystyle \square }$

Esimerkkejä

${\displaystyle x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}}$ ei ole määritelty, kun ${\displaystyle x=0}$.

Sinifunktion ominaisuuksista tiedetään, että ${\displaystyle -1\leq \sin {({\tfrac {1}{x}})}\leq 1}$, kun ${\displaystyle x\neq 0}$, joten ${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}\leq x^{2}}$. Koska ${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=0}$ ja ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}=0}$, niin kuristusperiaatteen nojalla ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}=0}$.

Aiheesta muualla

• Raja-arvon kuristaminen