Kaprekarin luku

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Kaprekarin luku annetussa lukujärjestelmässä on positiivinen kokonaisluku, jonka neliö tuossa lukujärjestelmässä voidaan jakaa kahteen numero-osaan niin, että näiden osien summa on tuo alkuperäinen luku. Esimerkiksi 297 on Kaprekarin luku kymmenjärjestelmässä, koska 297² = 88 209, joka voidaan jakaa 88:ksi ja 209:ksi, jolloin 88 + 209 = 297. Jälkimmäinen osa voi alkaa numerolla 0, mutta sen on oltava positiivinen. Esimerkiksi 999 on Kaprekarin luku kymmenjärjestelmässä, koska 999² = 998 001, joka voidaan jakaa 998:ksi ja 001:ksi, jolloin 998 + 001 = 999. Sen sijaan 100 ei ole Kaprekarin luku: vaikka 100² = 10 000 ja 100 + 00 = 100, jälkimmäinen osa ei ole positiivinen.

Matemaattisesti ilmaistuna: Olkoon X positiivinen kokonaisluku. X on Kaprekarin luku b-lukujärjestelmässä, jos on olemassa ei-negatiiviset kokonaisluvut n ja A sekä positiivinen kokonaisluku B niin, että seuraavat kolme ehtoa täyttyvät:

0 < B < bⁿ

X² = Abⁿ + B

X = A + B

Ensimmäiset Kaprekarin luvut kymmenjärjestelmässä ovat 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2 223 ja 2 728.^[1]

Binäärijärjestelmässä kaikki parilliset täydelliset luvut ovat Kaprekarin lukuja.

Jokaisessa lukujärjestelmässä on äärettömän monta Kaprekarin lukua. Oikeastaan b-lukujärjestelmässä kaikki luvut muotoa bⁿ − 1 ovat Kaprekarin lukuja.

Kaprekarin luvut on nimetty D. R. Kaprekarin mukaan. Niitä ei tule sekoittaa lukuun 6 174, jota sanotaan Kaprekarin vakioksi.

Lähteet

Aiheesta muualla

• Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html (englanniksi)