Hyperreaaliluku

Hyperreaalilukujen järjestelmä on eräs tapa käsitellä äärettömiä ja äärettömän pieniä eli infinitesimaalisia määriä (kvantiteetteja). Hyperreaaliluvut tai epästandardit reaaliluvut, ${\displaystyle *\mathbb {R} }$, ovat reaalilukujen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ laajennus, joka sisältää suurempia lukuja kuin mikään muotoa

${\displaystyle 1+1+\cdots +1\,}$ oleva.

Sellaiset luvut ovat äärettömiä ja niiden käänteisluvut on infinitesimaaleja. Termin "hyperreaali" esitteli Edwin Hewitt 1948.

Reaalilukujen laajennukseen hyperreaalilukuihin kuuluvat siis tavallisten reaalilukujen lisäksi äärettömän suuret ja äärettömän pienet luvut eli infinitesimaalit. Nämä voidaan määritellä seuraavasti:

Nollasta eroava luku ${\displaystyle \epsilon }$ on äärettömän tai infinitesimaalisen pieni eli siis infinitesimaali, jos ${\displaystyle \vert \epsilon \vert <{\frac {1}{n}}{\text{ }}\forall n=1,2,3,....}$

Kääntäen infinitesimaalin ${\displaystyle \epsilon }$ käänteisluku ${\displaystyle \omega ={\frac {1}{\epsilon }}}$ on äärettömän suuri tai ääretön tarkoittaen täsmällisesti, että ${\displaystyle \vert \omega \vert >n{\text{ }}\forall n=1,2,3,....}$

Ja vastaavasti äärettömän ${\displaystyle \omega }$ käänteisluku ${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}}$ on infinitesimaali.

Hyperreaaliluvut noudattavat siirtoperiaatetta, Leibnizin heuristisen jatkuvuuden lain täsmällistä versiota. Siirtoperiaate sanoo, että väitteet ${\displaystyle \mathbb {R} }$:ssä ovat päteviä ${\displaystyle *\mathbb {R} }$:ssä. Esimerkiksi, yhteenlaskun vaihdantalaki, ${\displaystyle x+y=y+x}$, pätee hyperreaaliluvuille aivan kuin se pätee myös reaaliluvuille; kuten ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on reaalisesti suljettu kunta, joka tarkoittaa vain yksinkertaisesti kuntaa, jolla on oleellisesti samat ominaisuudet kuin reaalilukujen kunnalla, siten on myös ${\displaystyle *\mathbb {R} }$. Samoin kuten ${\displaystyle \sin {\pi n}=0}$ kaikille kokonaisluvuille ${\displaystyle n}$, on yhtä lailla voimassa ${\displaystyle \sin {\pi H}=0}$ kaikille hyperkokonaisluvuille ${\displaystyle H}$. Siirtoperiaate on Łośin teoreeman seuraus vuodelta 1955.

Hyperreaalilukujen ja erityisesti siirtoperiaatteen sovellusta analyysin ongelmiin kutsutaan epästandardiksi analyysiksi. Yksi välitön sovellus on analyysin peruskäsitteiden kuten derivaatan ja integraalin määrittely jollakin tapaa yksinkertaisemmin. Täten ${\displaystyle f(x)}$:n derivaatta tulee muotoon ${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$ infinitesimaalille ${\displaystyle \Delta x}$, missä ${\displaystyle st()}$ merkitsee funktion standardiosaa, joka liittää jokaiseen äärelliseen hyperreaalilukuun yksikäsitteisen äärettömän lähellä olevan reaaliluvun. Integraali määritellään vastaavasti sopivan äärettömän summan standardiosana.

Differentiaali- ja integraalilaskentaa eli infinitesimaalilaskentaa enteilivät jo Arkhimedeen (noin 250 eaa.) käyttämät menetelmät (esimerkiksi tyhjennysmenetelmä) antiikin Kreikan aikana. Infinitesimaalin idealla, mutta myös epäilyllä infinitesimaaleihin liittyvien argumenttien luotettavuudesta, on pitkä historia alkaen jo antiikin Kreikan matemaatikoista. Infinitesimaalin tunsi jo Arkhimedes, mutta infinitesimaalin käsite oli hänen mielestään siinä määrin epätyydyttävä, että hän korvasi infinitesimaalin käytön matemaattisissa todistuksissa muilla menetelmillä kuten ekshaustio- eli tyhjennysmenetelmällä, jolla voidaan muodostaa täsmällisiä todistuksia ja määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia tarvitsematta mennä varsinaisesti infinitesimaaleihin, raja-arvoihin tai muihin äärettömyyttä käyttäviin prosesseihin.

Historiallisesti differentiaali- ja integraalilaskennan katsotaan kehittäneen Gottfried Leibniz ja Isaac Newton toisistaan riippumatta 1600-luvun lopulla. Molempien käyttämät päättelyt perustuivat infintesimaalin käsitteeseen, joka esiteltiin suuruutena, joka on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku olematta silti nolla. Funktion ${\displaystyle f(x)}$ derivaatta määriteltiin tuolloin seuraavasti: ${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}}$. (*)

Isaac Newton puhui derivaatan eli hänen terminologiansa mukaan fluksionin ideasta lopullisena yhteytenä häviävien osien välillä. Infinitesimaali oli kuitenkin käsitteenä epäselvä eikä sitä ei ollut määritelty täsmällisesti, minkä vuoksi eri matemaatikot ymmärsivät infinitesimaalin käsitteen eri tavoin.

Tästä huolimatta markiisi Guillaume de l’Hôpital otti infinitesimaalin kuitenkin täyteen käyttöön ja julkaisi ensimmäisen infinitesimaalilaskennan oppikirjan.

Infinitesimaalin käsitteen epätäsmällisyyteen kohdistettiin kuitenkin kritiikkiä, ja se huipentui piispa George Berkeleyn kritiikkiin, jonka hän esitti kirjansa The Analyst (1734) loppusanoissa: "And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And what are these same evanescent Increments? They are neither finite Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the Ghosts of departed Quantities?" eli suomeksi "Ja mitä ovat nämä fluksiot? Kadonneiden lisäysten nopeuksia? Ja mitä ovat nämä samat kadonneet lisäykset? Ne eivät ole äärellisiä kvantiteetteja, eivät äärettömän pieniä kvantiteetteja, eivät vielä mitään. Eikö meidän pitäisi kutsua niitä menneiden kvantiteettien haamuiksi?". Berkeleyn mielestä sama kritiikki, joka kohdistetaan teologeihin, jotka pohdiskelevat epätäsmällisiä ja määrittelemättömiä asioita kuten enkeleitä tulisi kohdistaa infinitesimaalin takia myös matemaatikoihin, joiden pitäisi edustaa eksaktia tiedettä. Piispa Berkeley ja infinitesimaalin epätäsmällisyyden vastustajat olivat oikeassa eli infinitesimaalin käsitettä ei oltu hyvin määritelty ja siinä oli ristiriitoja. Otetaan näistä ristiriidoista esimerkiksi funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ derivaatan laskeminen: Käytetään derivaatan laskemiseksi Leibnizin ja Newtonin aikaista derivaatan määritelmää (*):

${\displaystyle f'(x)={\frac {(x+dx)^{2}-x^{2}}{dx}}={\frac {x^{2}+2xdx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}=2x+dx}$ ja funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ derivaatta on tunnetusti ${\displaystyle f'(x)=2x}$ nykyaikaisten menetelmien pohjalta.

Eli siis ${\displaystyle 2x+dx=2x\Rightarrow dx=0}$, joka on ristiriita ( ${\displaystyle dx}$ on infinitesimaali, joka on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku, mutta ei ole nolla). Tämä tarkoittaisi sitä, että infinitesimaaleilla ei voitaisi laskea samalla tavoin kuin tavallisilla äärellisillä luvuilla.

Näiden ristiriitojen vuoksi infinitesimaalin käsitettä yritettiin määritellä täsmällisesti, jota yritti muun muassa A. L. Cauchy siinä onnistumatta. Mutta Cauchy kuitenkin väitti, että infinitesimaalin avulla voitaisiin todistaa, että jos ${\displaystyle (f_{n})}$ on jono jatkuvia funktioita sellaisia, että ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x),{\text{ jos }}n\to \infty }$ kaikilla ${\displaystyle x}$ niin silloin funktio ${\displaystyle f}$ olisi jatkuva. Tämä ei kuitenkaan pitäisi paikkaansa, vaan todellisuudessa tulokseen vaadittaisiin, että ${\displaystyle (f_{n})}$ suppenee tasaisesti. Tämä sekaannus antaa aiheen ajatella, että infinitesimaaleja ei tarkkaan ottaen pitäisi käyttää ollenkaan.

Myöhemmin 1800-luvulla muun muassa Karl Weierstrass määritteli differentiaali- ja integraalilaskennan käsitteet kuten raja-arvo ja reaaliluku täsmällisesti. Kun raja-arvo oli määritelty täsmällisesti, derivaatta voitiin määritellä sen avulla tarkasti käyttämättä infinitesimaaleja.

Tämän analyysin aritmetisoinniksi kutsutun historiallisen vaiheen myötä infinitesimaalin käsite poistuikin tarkasta teoreettisesta käytöstä turhana ja sekavana. Tästä huolimatta infinitesimaalia käytettiin kuitenkin tehokkaana ajattelun työvälineenä sen intuitiivisuuden vuoksi esimerkiksi hahmotettaessa mielessä miten koulusta tuttu pyörähdyskappale lasketaan. Tällaiseen tarkoitukseen infinitesimaalin käsite oli sopiva, joten mitä väliä vaikka se oli epätäsmällinen. Ankaran täsmälliseen teoreettiseen käyttöön se ei kuitenkaan enää kelvannut, vaan infinitesimaalien käytön oli korvannut raja-arvon täsmällinen ${\displaystyle \epsilon -\delta }$-määritelmä.

Infinitesimaali teki kuitenkin paluun täsmälliseen matematiikkaan 1960-luvulla, jolloin Abraham Robinson julkaisi kirjansa Non-standard analysis, jossa hän osoitti, että infinitesimaali voitiin sittenkin määritellä täsmällisesti ja on olemassa tavallisten eli standardien äärellisten reaalilukujen laajennus, jossa on äärettömän pieniä lukuja eli infinitesimaaleja ja äärettömän suuria lukuja ja tämä reaalilukujen laajennus noudattaa lisäksi tavallisia reaalilukujen laskulakeja. Aksiomatisoimalla infinitesimaalit Robinson antoi oikeutuksen niiden täysimittaiselle käytölle matematiikassa ja toteutti samalla Leibnizin vanhan idean. Robinsonin määrittelemä infinitesimaali oli sopusoinnussa myös Karl Weierstrassin raja-arvon ${\displaystyle \epsilon -\delta }$-määritelmän kanssa. Tätä Robinsonin konstruoimaa reaalilukujen joukon laajennusta kutsutaan hyperreaalilukujen joukoksi.

Hyperreaalilukujen käsittely voitaisiin aloittaa melko suoraan pitämällä reaalilukujen ominaisuudet tunnettuina reaalilukujen aksioomien pohjalta, koska hyperreaaliluvut muodostavat reaalisesti suljetun kunnan eli sen ominaisuudet periytyvät reaaliluvuilta itseltään. Mutta hyperreaaliluvut voidaan myös konstruoida luonnollisista luvuista alkaen. Luonnollisista luvuista lähtien tehdyn konstruktion etuja ovat ainakin ne, että saadaan parempi kuva siitä, mitä hyperreaaliluvut oikeastaan täsmällisesti ottaen ovat ja nähdään hyperreaalilukujen konstruointi luonnollisista luvuista lähtevän laajentumisprosessin yhtenä vaiheena, joka on jollakin tavoin analoginen aikaisempien laajentumisvaiheiden kanssa.

Luonnollisten lukujen joukkoa voidaan laajentaa ottamalla lähtökohdaksi vaikkapa yhtälön ratkaisun. Yhtälö ${\displaystyle a+x=b}$ ei ratkea aina luonnollisten lukujen ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,...\}}$ joukossa, vaan se täytyy laajentaa kokonaislukujen joukoksi ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$, jossa yhtälö ratkeaa aina. Ja edelleen yhtälö ${\displaystyle ax=b}$ ei ratkea aina kokonaislukujen joukossa, vaan se on laajennettava rationaalilukujen ${\displaystyle \mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}|a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\}}$ joukoksi. Konstruktiot voidaan tehdä tarkasti ekvivalenssirelaation avulla, mutta yksityiskohdat sivuutetaan.

Esitetään seuraavaksi hyperreaalilukujen käsittelyssä tarvittavat tärkeät käsitteet ja tulokset:

Kunta

Järjestetty kunta

Järjestetty kunta ${\displaystyle \mathbb {K} }$ täyttää Arkhimedeen ehdon, jos kaikkia ${\displaystyle x,y\in \mathbb {K} }$, missä ${\displaystyle x>0{\text{ ja }}y>0}$, kohti on olemassa sellainen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} {\text{, että }}nx\geq y}$.

Cauchy-jono

Järjestetty kunta ${\displaystyle \mathbb {K} }$ on Cauchy-täydellinen, joss jokainen Cauchyn jono ${\displaystyle \mathbb {K} }$:ssa suppenee.

Järjestetty kunta ${\displaystyle \mathbb {K} }$ on Dedekind-täydellinen, joss se on Cauchy-täydellinen ja Arkhimedeen ehto on voimassa.

Voidaan osoittaa, että on olemassa isomorfiaa vaille tarkalleen yksi Dedekind-täydellinen järjestetty kunta eli kaikki tällaiset kunnat ovat keskenään isomorfisia eli matemaatikon silmissä oleellisesti täysin samanlaisia.

Konstruoidaan seuraavaksi Cantorin menetelmällä Dedekind-täydellinen Arkhimedeen ehdon täyttämä järjestetty reaalilukujen kunta rationaaliluvuista ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Merkitään C:llä rationaalilukujen Cauchyn jonojen joukkoa. Jos jonot ${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in C{\text{ ja }}\lim _{n\to \infty }(x_{n}-y_{n})=0}$, niin silloin sanotaan, että ne ovat ekvivalentit ja merkitään ${\displaystyle x_{n}\sim y_{n}}$. Voidaan tarkistaa välittömästi, että kyseessä on ekvivalenssirelaatio.

Määritellään, että reaaliluvut ovat rationaalilukujen Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokkia edellä määritellyn ekvivalenssirelaation ${\displaystyle \sim }$ suhteen eli siis ${\displaystyle \mathbb {R} =\{[(x_{n})]|(x_{n})\in C\},{\text{ missä }}[(x_{n})]{\text{ jonon }}(x_{n})}$ sisältävä ekvivalenssiluokka. Näille reaaliluvuiksi määritellyille ekvivalenssiluokille voidaan määritellä tutut reaalilukujen laskutoimitukset ja osoittaa, että ne ovat hyvinmääritellyt eli laskutoimituksen lopputulos ei riipu ekvivalenssiluokkien edustajien valinnasta.

Konstruktioprosessissa ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} }$ uusi laajempi rakenne on aina jollain tapaa "täydellisempi" kuin edellinen: ${\displaystyle \mathbb {N} }$:ssä ei onnistu aina vähennyslasku, mutta ${\displaystyle \mathbb {Z} }$:ssa onnistuu; ${\displaystyle \mathbb {Z} }$:ssa taas jakolasku on ongelmallinen, mikä taas korjaantuu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$:ssa; ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ taas ei ole Cauchy-täydellinen, mutta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on. Mutta sitten herää vielä kysymys, että onko mahdollista ${\displaystyle \mathbb {R} }$:n olevan Dedekind-täydellisyydestään huolimatta vielä jotenkin "epätäydellinen"? Sellaiseksi puutteeksi voitaisiin lukea vaikkapa se, että ${\displaystyle \mathbb {R} }$:ssä ei ole olemassa pienintä positiivista reaalilukua. Tätä voidaan yrittää ratkaista niin, että lisätään ${\displaystyle \mathbb {R} }$:ään uusia infinitesimaalisisa alkiota, jotka ovat pienempiä kuin mikä tahansa reaaliluku.

Konstruoidaan siis seuraavaksi hyperreaaliluvut reaaliluvuista käsin. Tavoitteena on määritellä hyperreaaliluvut reaalilukujen ekvivalenssiluokkina eli samalla periaatteella, millä aiemmatkin lukukonstruktiot on tehty. Olkoon siis ${\displaystyle (x_{n})}$ ääretön jono reaalilukuja. Tätä varten vaaditaan, että jokaisella reaaliluvulla ${\displaystyle a>0}$ joukko ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} |x_{n}<a\}}$ on riittävän suuri. On osoittautunut, että joukko on riittävän suuri, jos se kuuluu riittävän suurien joukkojen kokoelmaan nimeltä filtteri ${\displaystyle F}$:

1)${\displaystyle F\neq \{\}{\text{ ja }}\{\}\notin F}$

2)Jos ${\displaystyle A\in F{\text{ ja }}B\in F,{\text{ niin }}A\cap B\in F}$

3)Jos ${\displaystyle A\in F{\text{ ja }}A\subset B\subset \mathbb {N} ,{\text{ niin }}B\in F}$.

Lisäksi, jos pätee ehto

4)Aina, kun ${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$, niin on ${\displaystyle A\in F}$ tai ${\displaystyle \mathbb {N} \backslash A\in F}$,

niin silloin ${\displaystyle F}$ on ultrafiltteri.

Sanotaan, että reaalilukujonot ${\displaystyle (x_{n})}$ ja ${\displaystyle (y_{n})}$ ovat ekvivalentit, jos ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} |x_{n}=y_{n}\}\in F}$. Merkitään tällöin ${\displaystyle (x_{n})=_{F}(y_{n})}$. Voidaan taas todistaa, että ${\displaystyle =_{F}}$ on ekvivalenssirelaatio ja ekvivalenssiluokkien välille voidaan asettaa hyvinmääritellyt laskutoimitukset.

Muita tärkeitä käsitteitä tässä yhteydessä ovat:

Osittainen järjestys

Järjestys

Valinta-aksiooma

Zornin lemma.

Seuraavaksi voidaankin jo esittää hyperreaalilukujen konstruktio ultrapotenssimenetelmällä:

Määritellään, että ${\displaystyle (x_{n})}$ on ekvivalentti ${\displaystyle (y_{n})}$:n kanssa, merkitään ${\displaystyle (x_{n})=_{F}(y_{n})}$, jos ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} |x_{n}=y_{n}\}\in F}$. Kullekin ${\displaystyle (x_{n})\in \mathbb {R} _{\mathbb {N} }}$ merkitään ${\displaystyle [(x_{n})]=\{(y_{n})\in \mathbb {R} _{\mathbb {N} }|(y_{n})=_{F}(x_{n})\}}$ ja lisäksi ${\displaystyle *\mathbb {R} =\mathbb {R} _{\mathbb {N} }\backslash F=\{[(x_{n})]|(x_{n})\in \mathbb {R} _{\mathbb {N} }\}}$. Joukon ${\displaystyle *\mathbb {R} }$alkiot ovat hyperreaalilukuja. Kyseiselle joukon ekvivalenssiluokille voidaan asettaa hyvinmääritellyt laskutoimitukset.

Jokaista reaalilukua ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ vastaa hyperreaalilukujen joukossa oleva ekvivalenssiluokka ${\displaystyle *x=[(x,x,x,...)]\in *\mathbb {R} }$. Muotoa ${\displaystyle *x}$ olevaa hyperreaalilukua sanotaan standardiksi hyperreaaliluvuksi. Hyperreaaliluvut, jotka eivät ole standardeja ovat epästandardeja hyperreaalilukuja eli siis kaikki joukon ${\displaystyle *\mathbb {R} \backslash \{*x=[(x,x,x,...)]|x\in \mathbb {R} \}}$ alkiot. Epästandardit hyperreaaliluvut ovat siis niitä varsinaisia hyperreaalilukuja, jotka sisältävät jollain tavalla äärettömyyden. Ne voivat olla joko äärettömiä, äärellisiä tai infinitesimaalisia:

1) Hyperreaaliluku ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ on ääretön, jos ${\displaystyle |a|>x{\text{ }}\forall x\in \mathbb {R} ,x>0}$.

2) Hyperreaaliluku ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ on äärellinen, jos ${\displaystyle \exists {\text{ }}x\in \mathbb {R} ,x>0:|b|<x}$.

3) Hyperreaaliluku ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ on infinitesimaalinen, jos ${\displaystyle |c|<x{\text{ }}\forall x\in \mathbb {R} ,x>0}$.

Tässä esityksessä jokainen reaaliluku ${\displaystyle x}$ on samastettu vastaavalla standardin hyperreaaliluvun ${\displaystyle *x=[(x,x,x,...)]}$ kanssa, joka on vakiojonon ${\displaystyle (x,x,x,...)}$ ekvivalenssiluokka. Tällaisella luonnollisella samaistuksella ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on ${\displaystyle *\mathbb {R} }$ :n alikunta.

Hyperreaaliluvut ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ ovat äärettömän eli infinitesimaalisen lähellä toisiaan, jos erotus ${\displaystyle x-y}$ on infinitesimaali. Tällöin voidaan merkitä ${\displaystyle x\approx y}$. On myös voimassa lause, joka vaikuttaa intuitiivisesti olevan tosi ilman sen täsmällistä todistamista: Jos ${\displaystyle x}$ on äärellinen hyperreaaliluku, on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku ${\displaystyle r,{\text{ jolle }}r\approx x}$. Tämän jälkeen voidaan määritellä:

1) Reaaliluku ${\displaystyle r,{\text{ jolle }}r\approx x}$, on äärellisen hyperreaaliluvun ${\displaystyle x}$ standardiosa. Merkitään ${\displaystyle r=st(x)}$.

2) Jos ${\displaystyle r\in *\mathbb {R} }$, kaikkien niiden hyperreaalilukujen ${\displaystyle x}$ joukkoa, joille ${\displaystyle x\approx r}$, kutsutaan ${\displaystyle r}$:n monadiksi. Nimitys on itse asiassa peräisin Leibnizin filosofiasta. Merkitään ${\displaystyle monad(r)}$.

3) Jos ${\displaystyle r\in *\mathbb {R} }$, kaikkien niiden hyperreaalilukujen ${\displaystyle x}$ joukkoa, joille ${\displaystyle x-r}$ on äärellinen, kutsutaan ${\displaystyle r}$:n galaksiksi. Merkitään ${\displaystyle galaxy(r)}$.

Hyperreaalilukujen ${\displaystyle *\mathbb {R} }$ äärelliset alkiot ${\displaystyle F}$ muodostavat renkaan ja sen yksikäsitteinen maksimaalinen ihanne ${\displaystyle S}$ koostuu ${\displaystyle *\mathbb {R} }$:n infinitesimaaleista; osamäärärengas ${\displaystyle F/S}$ on isomorfinen reaalilukujen kanssa. Tästä saadaan homomorfismi ${\displaystyle st(x):F\rightarrow \mathbb {R} }$, jonka ydin koostuu infinitesimaaleista ja joka kuvaa jokaisen ${\displaystyle F}$:n alkion ${\displaystyle x}$ yksikäsitteiseksi reaaliluvuksi ${\displaystyle r}$, joka eroaa ${\displaystyle x}$:stä infinitesimaalisen vähän ja tämä infinitesimaalinen erotus on ihanteessa ${\displaystyle S}$. Toisin sanoen jokainen äärellinen epästandardi hyperreaaliluku on äärimmäisen lähellä jotain yksikäsitteistä reaalilukua; tarkemmin jos ${\displaystyle x}$ on äärellinen epästandardi hyperreaaliluku, niin on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku ${\displaystyle st(x)}$ sellainen, että ${\displaystyle x-st(x)}$ on infinitesimaali. Reaaliluku ${\displaystyle st(x)}$ on ${\displaystyle x}$:n standardiosa eli intuitiivisesti sama kuin hyperreaaliluvun ${\displaystyle x}$ lähin reaaliluku lukusuoralla. Homomorfismi on järjestyksen säilyttävä ja käyttäytyy hyvin algebrallisesti ja järjestysteoreettisesti.

• Jos ${\displaystyle x{\text{ ja }}y}$ ovat äärellisiä,

${\displaystyle \operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)}$

${\displaystyle \operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)}$

• Jos ${\displaystyle x}$ on äärellinen ja ei infinitesimaali.

${\displaystyle \operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)}$

• ${\displaystyle x}$ on reaalinen joss

${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x}$

Hyperreaalilukujen järjestelmän ideana on laajentaa reaaliluvut ${\displaystyle \mathbb {R} }$ järjestelmäksi ${\displaystyle *\mathbb {R} }$, johon kuuluvat infinitesimaaliset ja äärettömät luvut ja jossa kaikki algebran aksioomat olisivat voimassa. Eli siis mikä tahansa väite muodossa "jokaiselle luvulle ${\displaystyle x}$...", joka on tosi reaaliluvuille, olisi tosi myös hyperreaaliluvuille. Esimerkiksi aksioomaa, joka sanoo, että "jokaiselle luvulle ${\displaystyle x,x+0=x}$" voitaisiin yhä soveltaa. Sama olisi tosi useamman luvun kvantifioinneille, esim., "jokaiselle luvulle ${\displaystyle x{\text{ ja }}y,xy=yx}$." Tätä ominaisuutta kuljettaa väitteet reaaliluvuilta hyperreaaliluvuille kutsutaan siirtoperiaatteeksi. Kuitenkin väitteet muodossa "jokaiselle lukujen joukolle ${\displaystyle S}$ ..." eivät siirry. Ainoat eroavat ominaisuudet hyperreaalilukujen ja reaalilukujen välillä ovat ne, jotka pohjautuvat joukkojen yli kvantifiointiin tai muuhun korkeampaan rakenteeseen kuten funktioihin ja relaatioihin, jotka tyypillisesti konstruoidaan joukkojen avulla. Jokaisella reaalisella joukolla, funktiolla ja relaatiolla on luonnollinen hyperreaalinen laajennuksensa, joka täyttää samat ominaisuudet.

Siirtoperiaate ei kuitenkaan tarkoita, että ${\displaystyle \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle *\mathbb {R} }$ käyttäytyisivät täysin samanlaisesti. Esimerkiksi, ${\displaystyle *\mathbb {R} }$:ssä on olemassa sellainen olio ${\displaystyle \omega ;}$ , että

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots }$, mutta sellaista lukua ei ole ${\displaystyle \mathbb {R} }$:ssä.

Merkinnät ei-reaalisille kvantiteeteille ilmestyivät analyysin historiassa kahdessa kontekstissa: infinitesimaaleina kuten ${\displaystyle dx}$ ja symbolina ${\displaystyle \infty }$, käytettynä esimerkiksi epäoleellisten integraalien integrointirajoina.

Esimerkkinä siirtoperiaatteesta: väite, että jokaiselle nollasta eroavalle luvulle ${\displaystyle x,2x\neq x}$, joka on tosi jokaiselle reaaliluvulle ja joka on siirtoperiaatteen vaatimassa muodossa on tosi myös hyperreaaliluvuille. Tämä osoittaa, ettei ole mahdollista käyttää sellaista geneeristä eli yleisluontoista symbolia kuten ${\displaystyle \infty }$ kaikille hyperreaalisille kvantiteeteille hyperreaalisessa järjestelmässä; äärettömät kvantiteetit eroavat suuruudeltaan muista äärettömistä kvantiteeteista ja infinitesimaalit muista infinitesimaaleista.

Vastaavasti sopimuksen ${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty }$ käyttö on epävalidia, koska siirtoperiaatteessa nollalla jakamista ei ole määritelty. Tarkka vastine tällaiselle laskelmalle olisi, että jos ${\displaystyle \epsilon }$ on infinitesimaali sitten ${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon }}}$ on ääretön.

Jokaiselle äärelliselle hyperreaaliluvulle ${\displaystyle x}$ määriteltiin sen standardiosa ${\displaystyle st(x)}$ yksikäsitteisenä reaalilukuna, joka eroaa ${\displaystyle x}$:stä ainoastaan infinitesimaalisesti. Funktion ${\displaystyle y(x)}$ derivaattaa ei määritellä tavalliseen tapaan muodossa ${\displaystyle dy/dx}$ vaan ${\displaystyle dy/dx}$:n standardiosana.

Etsitään esimerkiksi funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ derivaatta ${\displaystyle f'(x)}$. Olkoon ${\displaystyle dx}$ infinitesimaali. Sitten

${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+dx^{2}-x^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+dx^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left(2x+dx\right)}$
	${\displaystyle =2x\,}$

Standardiosan käyttö derivaatan määritelmänä on tarkka vaihtoehto perinteiselle infinitesimaalin neliön laiminlyömiselle. Yllä olevan differentioinnin kolmannen rivin jälkeen, tyypillinen metodi Newtonista läpi 19:n vuosisadan on yksinkertaisesti hylätä ${\displaystyle (dx)^{2}}$ termi. Hyperreaalisessa järjestelmässä ${\displaystyle (dx)^{2}\neq 0}$, koska ${\displaystyle dx}$ on nollasta eroava ja siirtoperiaatetta voidaan soveltaa väitteeseen, että minkä tahansa nollasta eroavan luvun neliö on nollasta eroava. Kuitenkin infinitesimaali ${\displaystyle (dx)^{2}}$ on äärettömän pieni verrattuna toiseen infinitesimaaliin ${\displaystyle dx}$; tämä tarkoittaa, että hyperreaalinen järjestelmä sisältää infinitesimaalisten kvantiteettien hierarkian.

• http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number
• Hyperreaaliluvut, luentomoniste, Turun yliopisto
• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.