Analyysin peruslause

Analyysin peruslauseet ovat lauseita, joiden mukaan kaksi analyysin perusmääritelmää, derivointi ja integrointi, ovat toistensa käänteistoimituksia. Analyysin peruslauseita on väitteen kumpaakin puoliskoa varten yksi, ja niiden nimet ovat analyysin ensimmäinen peruslause ja analyysin toinen peruslause. Siitä, kumpi on kumpi, ei liene täysin yksimielistä käytäntöä.

Analyysin ensimmäinen peruslause

Jos f {\displaystyle f} on välillä [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} jatkuva funktio ja F {\displaystyle F} jokin sen integraalifunktio, niin F on derivoituva ja pätee:

F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \displaystyle F'(x)=f(x)}

Lause voidaan kirjoittaa myös muodossa

d d x ∫ c x f ( t ) d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{c}^{x}f(t)\,dt=f(x)} , missä c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} .[1]

Analyysin toinen peruslause

Olkoot F 1 {\displaystyle F_{1}} ja F 2 {\displaystyle F_{2}} funktion f {\displaystyle f} primitiivejä (integraalifunktioita). Tällöin löytyy vakio c {\displaystyle c} siten, että

F 1 ( x ) = F 2 ( x ) + c {\displaystyle F_{1}(x)=F_{2}(x)+c} kaikille x.

Geometrinen tarkastelu

Punaisella funktion f {\displaystyle f} alue pisteeseen x {\displaystyle x} asti. Sininen ja punainen alue yhdessä vastaa f {\displaystyle f} :n aluetta x + h {\displaystyle x+h} asti.
Analyysin peruslause (animaatio)

Merkitään kuvasta funktion f {\displaystyle f} alueen, eli funktion alle jäävän pinta-alan, kokoa funktiolla A {\displaystyle A} (kuvassa punainen alue). Olkoon sinisen alueen leveys h {\displaystyle h} . Kun h on pieni saadaan arvio siniselle alueelle:

A ≈ h ⋅ f ( x ) {\displaystyle A\approx h\cdot f(x)}

Toisaalta sininen alue on A ( x + h ) − A ( x ) {\displaystyle A(x+h)-A(x)} . Yhdistämällä saadaan:

h ⋅ f ( x ) ≈ A ( x + h ) − A ( x ) f ( x ) ≈ A ( x + h ) − A ( x ) h {\displaystyle {\begin{aligned}h\cdot f(x)&\approx A(x+h)-A(x)\\f(x)&\approx {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\end{aligned}}}

Siis f {\displaystyle f} on A {\displaystyle A} :n derivaatta, kun väli h {\displaystyle h} lähestyy nollaa.

f ( x ) = d d x A = lim h → 0 A ( x + h ) − A ( x ) h {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {d}{dx}}A=\lim _{h\to 0}{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\end{aligned}}}

Tästä seuraa, että derivoinnin käänteisoperaatiolla funktiosta f {\displaystyle f} saadaan funktio A {\displaystyle A} eli funktion alle jäävä pinta-ala.

Lähteet

  1. ↑ Adams, Robert A.: ”5.5”, Calculus: A Complete Course, s. 297. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.

Kirjallisuutta

  • Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

  • MathWorld. Fundamental Theorems of Calculus