Potentzia-multzo

A multzo baten azpimultzo guztiek osatzen duten multzoari potentzia-multzo edo A multzoaren parteen multzo deritzo, eta ${\mathcal {P}}(A)$ , P(A), ℘(A) edo 2^A adierazten da. Adibidez, A = {x, y, z} izanik, bere azpimultzoak ∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} eta {x, y, z} dira, eta potentzia-multzoa ${\mathcal {P}}(A)$ = {{x, y, z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x}, {y}, {z}, ∅}.

Propietateak

Potentzia-multzoa gutxienez azpimultzo batez osatuta dago. Izan ere, multzo hutsa multzo guztien potentzia-multzoan dago. $\emptyset \in {\mathcal {P}}(A)\ \forall A$
Multzo bat beti da bere potentzia-multzoaren elementu. $A\in {\mathcal {P}}(A)\ \forall A$

Multzoa infinitua baldin bada, bai zenbakarria bai zenbakaitza, potentzia-multzoa infinitu zenbakaitza izango da.

Zenbaki arrunten potentzia-multzoa bijekzio bidez zenbaki errealen multzoarekin lotu daiteke, esaterako.

Kardinala

Jatorrizko multzoa hutsa ez bada, hurrengoa betetzen da: multzoaren parteen multzoko elementuen kopurua jatorrizko multzoaren berreketaren emaitza da, hots, S multzo finitu baten potentzia-multzoaren kardinala 2 ber S-ren de kardenala da. $|{\mathcal {P}}(S)|=2^{|S|}$

Potentzia-multzoaren kardinalaren erlazioa ondorioztatzeko modu bat koefiziente binomialen bidez da. S multzoak n elementu baditu, k elementu dituzten azpimultzoen kopurua, C (n, k) zenbaki konbinatorioaren berdina izango da. S multzoaren azpimultzo batek 0 elementu izan ditzake gutxienez, eta n gehienez, eta, beraz,

$|{\mathcal {P}}(S)|={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+...+{\binom {n}{k}}+...+{\binom {n}{n}}=2^{n}=2^{|S|}$

Potentzia-multzoaren kardinala multzoarena baino handiagoa da beti, Cantor-en Teorema esaten duen moduan. $|S|<|{\mathcal {P}}(S)|$ Honen ondorioz, ez da existitzen aplikazio bijektibo bat multzo baten eta bere potentzia-multzoaren artean. Beraz, jatorrizko multzoa eta bere potentzia multzoa ez dira ekipotenteak.