Hurwitzen zeta funtzio

Matematikan, Hurwitzen zeta funtzioa zeta funtzio ugarietako bat da. Honela definitzen da formalki s argumentu konplexu baterako eta q argudio erreal baterako:

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s}.}$

Segida hori konbergentea da q>0 eta Re(s)>1 direnean. q zenbaki ez-positibo osoa bada, jotzen da ez direla kontuan hartzen izendatzaile nulua duen ondorengoetako terminoak. Hala ere, oro har, bat 0 < q ≤ 1 baino ez da, eta horrek funtzio horri aplika dakizkiokeen formuletako asko sinplifikatzen ditu.

Kontuan izan behar da, berez, ez dagoela ezer q aldagaia konplexua ez izateko (kasu horretan, Re(q)>0 murrizketa naturala da, nahiz eta ezinbesteko baldintza ez izan). Hedapen hori beharrezkoa da Schwingerren formularako, elektroi bikoteen ekoizpen-erritmorako.

Hedapen analitikoa

Hurwitz-en zeta funtzioak s ≠ 1 duten zenbaki konplexu guztietarako zehaztutako funtzio meromorfiko baterako hedapen analitikoa izan dezake. s = 1 denean, 1 hondarreko polo bakuna du. Termino konstantea honela adierazten da:

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}$

non Γ baita Gamma funtzioa, eta ψ baita digamma funtzioa.

Segidaren irudikapena

1930ean, Helmut Hassek segida konbergente baten forma aurkitu zuen, q > −1ek definitua, eta zenbaki konplexu guztientzat s ≠ 1:^[1]

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}$

Segida hori uniformeki bateratzen da s planoko azpimultzo trinko batean, funtzio oso batera. Barne-batuketak ${\displaystyle q^{1-s}}$ren n-garren diferentzia progresibo gisa ulertu behar da, hau da,

${\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}$

non Δ baita eragile diferentzial progresiboa. Beraz, baliagarria da baildin eta

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.}$

Irudikapen integrala

Funtzioak Mellinen transformatuaren araberako irudikapen integrala du. Hau da:

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{qt}\left(1-e^{-t}\right)}}dt}$

${\displaystyle \Re s>1}$${\displaystyle \Re q>0}$ denean.

Hurwitzen formula

Hurwitzen formulak teorema hau ezartzen du:

${\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}$

izanik

${\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}$

zetaren adierazpen bat da, eta balio du${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$${\displaystyle s>1}$ -rentzat. Non, ${\displaystyle {\mbox{Li}}_{s}(z)}$ polilogaritmoa baiten.

Erreferentziak

Kanpo estekak

• Datuak: Q1638777