D’Alembert irizpidea

D'Alemberten irizpidea (edo zatiduraren irizpidea) gai positiboetako serientzat erabiltzen da, hauen izaera aztertzeko. Demagun ${\displaystyle \sum a_{n}}$ gai positiboetako seriea daukagula, eta demagun ondorengo limitea existitu egiten dela:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=l}$

(i) Baldin eta ${\displaystyle l<1}$ bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konbergentea da.

(ii) Baldin eta ${\displaystyle l>1}$ bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{n}}$ dibergentea da.

Bestetik, ${\displaystyle l=1}$ bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konbergentea zein dibergentea izan daiteke.

Froga

Lehenengo atala

Lehenik eta behin lehengo atala frogatuko dugu:

${\displaystyle l<1}$ denez, ${\displaystyle \epsilon ={1-l \over 2}>0}$ hartuko dugu, eta bestetik badakigu gai positiboetako seriea denez ${\displaystyle \exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}}$

Segiden limitea kalkulatzeko metodoa jarraituz:

${\displaystyle \left\vert {{a_{n+1} \over a_{n}}-l}\right\vert <{1-l \over 2}}$

Ezkerretan daukagun "${\displaystyle -l}$" hori eskubira gehitzen pasaz gero ondorengo adierazpena geratzen zaigu:

${\displaystyle {a_{n+1} \over a_{n}}<{1-l \over 2}+l}$

Edo beste era batera esanda:

${\displaystyle {1+l \over 2}=q<1}$

bakandutako adierazpenari ${\displaystyle q}$ deituko diogu (${\displaystyle q<1}$ izango dena ${\displaystyle l<1}$ delako), eta badakigu ${\displaystyle \forall n\geq n_{0}}$ dela, beraz:

${\displaystyle {a_{n+1} \over a_{n}}\leq q={q^{n+1} \over q^{n}}\Longrightarrow {a_{n+1} \over q^{n+1}}\leq {a_{n} \over q^{n}}\leq {a_{n-1} \over q^{n-1}}\leq ...\leq {a_{n_{0}} \over q^{n_{0}}}=A}$

Hau da ${\displaystyle \forall n\geq n_{0}}$ bada, ${\displaystyle a_{n}<Aq^{n}}$, beraz konparazio irizpidearen ondorioz:

${\displaystyle \sum a_{n}}$ eta ${\displaystyle \sum b_{n}}$ gai positiboko serieak, ${\displaystyle \sum a_{n}<<\sum b_{n}}$

Kasu honetan ${\displaystyle b_{n}=Aq^{n}}$ izanik, eta ${\displaystyle q<1}$ denez ${\displaystyle \sum b_{n}}$ konbergentea da, eta ondorioz ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ere konbergentea izango da.

Beraz lehengo atala frogatuta geratzen da.

Bigarren atala

Orain bigarren atala frogatuko dugu:

Kasu honetan ${\displaystyle l=+\infty }$ edo ${\displaystyle l\in \mathbb {R} }$ izan daiteke.

• ${\displaystyle l=+\infty }$ bada, ${\displaystyle M=1}$ hartuz, existitzen da ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ non ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ guztietarako ${\displaystyle {a_{n+1} \over a_{n}}>1}$ izango den.
• ${\displaystyle l\in \mathbb {R} }$ bada, eta ${\displaystyle l>1}$ izanik, kasu honetan hau frogatzeko ${\displaystyle \epsilon =l-1>0}$ hartuko dugu. Oraingoan ere segiden limitea kalkulatzeko metodoa jarraituz:

${\displaystyle \left\vert {{a_{n+1} \over a_{n}}-l}\right\vert <l-1}$

Ezkerretan daukagun "${\displaystyle -l}$" hori eskubira gehitzen pasaz gero ondorengo adierazpena geratzen zaigu:

${\displaystyle {a_{n+1} \over a_{n}}<l-1+l=1}$

Hau da, bi kasuetan adierazpen berdinera iristen gara, existitzen da ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ non ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ guztietarako ${\displaystyle {a_{n+1} \over a_{n}}>1}$ izango den.

Beraz, ${\displaystyle a_{n+1}>a_{n}}$, hau da, gai positibotako segida gorakorra dugu eta ondorioz, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ezin da 0 izan eta, hortaz, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ dibergentea da.

Bigarren atala ere frogatu dugu.

Adibidea

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over (2n+1)!}}$ konbergentea da.

Lehenik eta behin ${\displaystyle a_{n}}$ finkatuko dugu:

${\displaystyle a_{n}={1 \over (2n+1)!}}$

${\displaystyle a_{n}>0}$ da ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ guztietarako, beraz aplikatu dezakegu D'Alemberten irizpidea:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{{1 \over (2n+3)!} \over {1 \over (2n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{(2n+1)! \over (2n+3)!}}$

Sinplifikatuz:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{1 \over (2n+3)(2n+2)}=0=l}$

Eta lehenengo atalaren ondorioz badakigu ${\displaystyle l<1}$ bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konbergentea dela. Beraz, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over (2n+1)!}}$ konbergentea da.

Kanpo estekak

• Datuak: Q165638