Teorema de Ostrowski

El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski, establece que cualquier valor absoluto no trivial sobre los números racionales Q es equivalente bien al valor absoluto real usual o a un valor absoluto p-ádico.

Dos valores absolutos | | y | |^* sobre un cuerpo C se dice que son equivalentes si existe un número real ${\displaystyle \alpha >0}$ tal que

${\displaystyle |x|^{*}=|x|^{\alpha }{\mbox{ para todo }}x\in C.}$

Se define el valor absoluto trivial sobre cualquier cuerpo C como

${\displaystyle |x|_{0}={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}x=0\\1,&{\mbox{si }}x\neq 0.\end{cases}}}$

El valor absoluto real sobre Q es el valor absoluto normal sobre los números reales, y se define como

${\displaystyle |x|_{\infty }={\begin{cases}x,&{\mbox{si }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{si }}x<0.\end{cases}}}$

Para un número primo p, se define el valor absoluto p-ádico sobre Q como sigue: cualquier número racional x distinto de cero se puede expresar de forma única como ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, siendo a, b y p coprimos dos a dos y n entero (positivo, negativo o 0). Entonces

${\displaystyle |x|_{p}={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}x=0\\p^{-n},&{\mbox{si }}x\neq 0.\end{cases}}}$

Otros teoremas de Ostrowski

Otro teorema establece que un cuerpo arbitrario completo respecto del valor absoluto arquimediano es (algebraica y topológicamente) isomorfo a bien los números reales o bien los números complejos. Este teorema también se conoce como teorema de Ostrowski.

Temas relacionados

• Valoración (matemática)
• Valor absoluto

Referencias

• Gerald J. Janusz (1996, 1997). Algebraic Number Fields (2ª edición). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. 
• Nathan Jacobson (1989). Basic algebra II (2ª edición). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.