Teorema de Lucas

En teoría de números, el teorema de Lucas caracteriza el residuo del coeficiente binomial ${\displaystyle {\binom {m}{n}}}$ cuando este es dividido por un número primo ${\displaystyle p}$. Fue enunciado por primera vez en 1878 en una publicación del matemático Édouard Lucas, aunque no demostró el resultado.^[1]​^[2]​ El teorema de Lucas tiene muchas aplicaciones, como explicar la naturaleza fractal de los coeficientes binomiales módulo ${\displaystyle p}$.^[3]​

Enunciado

Sean ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ números enteros no negativos y ${\displaystyle p}$ un número primo. Entonces, tenemos la siguiente relación de congruencia:

${\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},}$

donde

${\displaystyle m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0},}$

y

${\displaystyle n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$

son las expansiones de ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ en base ${\displaystyle p}$. Se utiliza la convención que ${\displaystyle {\binom {m}{n}}=0}$ si ${\displaystyle m<n}$.

Demostración

El teorema de Lucas tiene distintas demostraciones, pero una prueba clásica sigue el siguiente esquema:

1. Primero, se demuestra que ${\displaystyle {\binom {p}{k}}\equiv 0({\text{mod}}\;p)}$ a menos que ${\displaystyle k=0}$ o ${\displaystyle k=p}$.
2. Luego, se puede demostrar que ${\displaystyle {\binom {p+r}{k}}\equiv {\binom {r}{k\;({\text{mod}}\;p)}}({\text{mod}}\;p)}$ para ${\displaystyle 0\leq r\leq p-1}$.
3. Luego, se puede demostrar que ${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2({\text{mod}}\;p)}$.
4. Se puede demostrar la siguiente relación ${\displaystyle {\binom {m_{1}p+m_{0}}{n_{1}p+n_{0}}}\equiv {\binom {m_{1}}{n_{1}}}{\binom {m_{0}}{n_{0}}}({\text{mod}}\;p)}$, específicamente si se toma ${\displaystyle a_{0}=0}$ y luego se utiliza el argumento de recursión para la fórmula general.
5. Utilizando inducción, si ${\displaystyle m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\dots +m_{1}p+m_{0}}$ y ${\displaystyle n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\dots +n_{1}p+n_{0}}$, se concluye ${\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}({\text{mod}}\;p)}$.

Aplicaciones

El Triángulo de Sierpinski está indirectamente relacionado al teorema de Lucas. Nota que los coeficientes binomiales se utilizan para generar el Triángulo de Pascal. A su vez, si consideramos el triángulo de pascal módulo ${\displaystyle p}$, podemos explicar la naturaleza fractal de los coeficientes binomiales utilizando el teorema de Lucas.^[3]​ Por ejemplo, si se toma el Triángulo de Pascal módulo 2, todo número impar correspondería a 1, mientras que todo número par correspondería a 0. De aquí, codificamos todas las entradas del Triángulo de Sierpinski a 1 si el número es impar y 0 si el número es par. Al final, lograremos observar que el triángulo de pascal y triángulo de Sierpinski son prácticamente idénticos.^[4]​

Referencias

Enlaces externos

• Lucas's Theorem, PlanetMath (en inglés)
• Andrew Granville. The Arithmetic Properties of Binomial Coefficients ("Las propiedades aritméticas de los coeficientes binomiales", en inglés).