Retículo vectorial topológico

En matemáticas, específicamente en análisis funcional y en teoría del orden, un retículo vectorial topológico es un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff ${\displaystyle X}$ que tiene un orden parcial ${\displaystyle \,\leq \,}$ que lo convierte en un espacio de Riesz que posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntos sólidos.^[1]​ Las redes vectoriales ordenadas tienen aplicaciones importantes en teoría espectral.

Definición

Si ${\displaystyle X}$ es un retículo vectorial, entonces se denominan operaciones de retículos vectoriales a las siguientes aplicaciones:

1. Las tres aplicaciones de ${\displaystyle X}$ sobre sí mismo definidas por ${\displaystyle x\mapsto |x|}$, ${\displaystyle x\mapsto x^{+}}$, ${\displaystyle x\mapsto x^{-}}$ y
2. Las dos aplicaciones de ${\displaystyle X\times X}$ sobre ${\displaystyle X}$ definidas por ${\displaystyle (x,y)\mapsto \sup _{}\{x,y\}}$ y ${\displaystyle (x,y)\mapsto \inf _{}\{x,y\}}$.

Si ${\displaystyle X}$ es un EVT sobre los números reales y un retículo vectorial, entonces ${\displaystyle X}$ es localmente sólido si y solo si (1) su cono positivo es un cono normal y (2) las operaciones del retículo vectorial son continuas.^[1]​

Si ${\displaystyle X}$ es un retículo vectorial y un espacio vectorial topológico ordenado que también es un espacio de Fréchet en el que el cono positivo es un cono normal, entonces las operaciones del retículo son continuas.^[1]​

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico (EVT) y un espacio vectorial ordenado, entonces ${\displaystyle X}$ se denomina localmente sólido si ${\displaystyle X}$ posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntos sólidos.^[1]​ Un retículo vectorial topológico es un EVT de Hausdorff ${\displaystyle X}$ que tiene un orden parcial ${\displaystyle \,\leq \,}$ que lo convierte en un espacio de Riesz que es localmente sólido.^[1]​

Propiedades

Cada retículo vectorial topológico tiene un cono positivo cerrado y, por lo tanto, es un espacio vectorial topológico ordenado.^[1]​ Sea ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ el conjunto de todos los subconjuntos acotados de un retículo vectorial topológico con cono positivo ${\displaystyle C}$ y, para cualquier subconjunto ${\displaystyle S}$, sea ${\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)}$ la envolvente ${\displaystyle C}$ saturado de ${\displaystyle S}$. Entonces, el cono positivo ${\displaystyle C}$ del retículo vectorial topológico es un cono ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ estricto,^[1]​ donde ${\displaystyle C}$ es un cono ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ estricto significa que ${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ es una subfamilia fundamental de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, es decir, cada ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ está contenido como un subconjunto de algún elemento de ${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$).^[2]​

Si un retículo vectorial topológico ${\displaystyle X}$ posee orden completo, entonces cada banda está cerrada en ${\displaystyle X}$.^[1]​

Ejemplos

Los espacios Lᵖ (${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$) son retículos de Banach según su ordenamiento canónico. Estos espacios son órdenes completos para ${\displaystyle p<\infty }$.

Véase también

Referencias

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.