Preorden total

En Teoría del Orden, una relación binaria R se llama preorden total sobre un conjunto X si con las siguientes propiedades:

• (Total)

${\displaystyle \forall x,y\in X:\quad xRy\;\lor \;yRx}$

• (Transitiva)

${\displaystyle \forall x,y,z\in X:\quad xRy\;\land \;yRz\quad \Rightarrow \quad xRz}$

Ejemplo

En Teoría de Elección Social podemos decir el orden de preferencias es un preorden total. Supongamos que tenemos cuatro candidatos a, b, c y d. Puede ocurrir que:

• a sea más preferido que b ${\displaystyle (a\lesssim b)}$
• a sea más preferido que c ${\displaystyle (a\lesssim c)}$
• b más preferido que d ${\displaystyle (b\lesssim d)}$
• c más preferido que d ${\displaystyle (c\lesssim d)}$
• b es incomparable con c ${\displaystyle (b\lesssim c\lor c\lesssim b)}$

Es fácil verificar que ${\displaystyle \lesssim }$ es un preorden total.