Notación Steinhaus–Moser

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En matemáticas, la notación Steinhaus–Moser es una notación para expresar números extremadamente grandes con seguridad. Es una extensión de la notación polígono de Steinhaus.

Definiciones

un número n en un triángulo significa nⁿ

un número n en un cuadrado es equivalente a "el número n dentro de n triángulos, los cuales están todos anidados."

un número en un pentágono es equivalente a "el número n dentro de n cuadrados, los cuales están todos anidados."

etc.: n escrito en un polígono de m lados es equivalente a "el número n dentro de n polígonos anidados de (m - 1) lados". En una serie de polígonos anidados, estos están asociados hacia adentro. El número n dentro de dos triángulos es equivalentes a nⁿ dentro de un triángulo, el cual es equivalente a nⁿ elevado a la potencia nⁿ.

Steinhaus solo definió el triángulo, el cuadrado, y un círculo , el equivalente al pentágono definido anteriormente.

Valores especiales

Moser definió:

• mega es el equivalente al número 2 en un pentagono:
• megiston es el equivalente al número 10 en un círculo: ⑩

El número de Moser es el número representado por "2 en un megagón", donde un megagón es un polígono con "mega" lados.

Notaciones alternativas:

• Utilizar la cuadrado de funciones(x) y triángulo(x)
• Dejar M(M(n, m, p), M(n, m, p), M(n, m, p)) ser el número representado por el número n en m anidado p cara polígonos; entonces las reglas son:
• Y
  • mega =${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • megagón =${\displaystyle M(10,1,5)}$
  • moser =${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

Mega

Un mega, ②, es ya un número muy grande, desde ② = cuadrado(cuadrado(2)) = cuadrado(triángulo(triángulo(2))) = cuadrado(triángulo(22)) = cuadrado(triángulo(4)) = cuadrado(44) = cuadrado(256) = triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256)...))) [256 triángulos] = triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(256256)...))) [255 triángulos] ~ triángulo(triángulo(triángulo(...Triángulo(3.2 × 10616)...))) [254 triángulos] = ...

Utilizando la otra notación:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Con la función hemos mega = ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$ dónde el superíndice denota un potencia funcional, no una potencia numérica.

Tenemos (nota la convención que las potencias están evaluadas de derechas a izquierdas):

• M(256,2,3) =${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• M(256,3,3) = ≈${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

De modo parecido:

• M(256,4,3) ≈${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• M(256,5,3) ≈${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

etc.

Así:

• mega = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$, dónde ${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$ denota una potencia funcional de la función ${\displaystyle f(n)=256^{n}}$.

Redondeando más crudamente (reencuadradando el 257 al final por 256), conseguimos mega ≈ ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$, utilizando la notación flecha de Knuth.

Después de los pocos pasos iniciales, el valor de es cada vez aproximadamente igual a ${\displaystyle n^{n}}$${\displaystyle 256^{n}}$. De hecho, es incluso aproximadamente igual a ${\displaystyle 10^{n}}$. Utilizando base 10 poderes, conseguimos:

• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$ (${\displaystyle \log _{10}616}$ está añadido al 616)
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$ (${\displaystyle 619}$ está añadido al ${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$, el cual es insignificante; por tanto justo un 10 está añadido en el inferior)

...

• mega = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$, dónde denota un poder funcional de la función ${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$${\displaystyle f(n)=10^{n}}$. De ahí ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

Número de Moser

Ha sido probado que en la notación flecha encadenada de Conway,

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

Y, en la notación flecha arriba de Knuth,

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ donde }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

Por lo tanto, el número de Moser, a pesar de que es incomprensiblemente grande, es increíblemente pequeño comparado al número de Graham:

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{el número de Graham}}.}$

Véase también

• Función de Ackermann

Referencias