Número semiperfecto

Número semiperfecto
Demostración con regletas de Cuisenaire de la perfección del número 6
No. total de términos	Infinito
Primeros términos	6, 12, 18, 20, 24, 28, 30
índice OEIS	A005835 Números seudoperfectos (o semiperfectos)
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En teoría de números, se llama número semiperfecto a aquel número natural n que es igual a la suma de algunos de sus divisores propios.^[1] Un número que es igual a la suma de todos sus divisores propios recibe el nombre de número perfecto.

Algunos números semiperfectos son:

6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, ... (sucesión A005835 en OEIS)

Propiedades

Todo múltiplo de un número semiperfecto es semiperfecto.^[2] Un número semiperfecto que no es divisible por ningún número semiperfecto más pequeño se llama primitivo.
Todo número de la forma

2^mp para un número natural m y un número primo impar p tal que p < 2^m+1 también es semiperfecto.

- En particular, todo número de la forma 2^m(2^m+1 − 1) es semiperfecto, y de hecho perfecto si 2^m+1 − 1 es un número primo de Mersenne.
El número semiperfecto impar más pequeño es 945 (véase, por ejemplo, Friedman 1993).
Un número semiperfecto es necesariamente perfecto o abundante. Un número abundante que no es semiperfecto se llama número extraño.
A excepción de 2, todos los números primarios semiperfectos son semiperfectos.
Todo número práctico que no sea potencia de dos es semiperfecto.
Existe la densidad natural del conjunto de los números semiperfectos.^[3]

Números semiperfectos primitivos

Un número semiperfecto primitivo (también llamado número pseudoperfecto primitivo, número semiperfecto irreducible o número pseudoperfecto irreducible) es un número semiperfecto que no tiene divisor propio semiperfecto.^[3]

Los primeros números semiperfectos primitivos son 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, ... (sucesión A006036 en OEIS)

Hay infinitos números de este tipo. Todos los números de la forma 2^mp, con p un primo entre 2^m y 2^m+1, son semiperfectos primitivos, pero esta no es la única forma: por ejemplo, 770.^[2]^[3] Hay infinitos números semiperfectos primitivos impares, siendo el más pequeño 945, un resultado hallado por Paul Erdős.^[3] También hay infinitos números semiperfectos primitivos que no son números de divisores armónicos.^[2]

Todo número semiperfecto es múltiplo de un número semiperfecto primitivo.

Conjetura de los números semiperfectos

Sea m un número natural mayor que cero, si n es un número semiperfecto que resulta de multiplicar m por un número perfecto y el resultado de este producto dividido entre dos es par, entonces existen por lo menos m formas de expresar el número n mediante la suma de sus divisores propios. Dicho enunciado se conoce como la conjetura de los números semiperfectos.

Véase también

Referencias

↑ «Tipos de números». Gaussianos. 13 de diciembre de 2006. Consultado el 20 de julio de 2015.
↑ ^a ^b ^c Zachariou+Zachariou (1972)
↑ ^a ^b ^c ^d Guy (2004) p. 75

Bibliografía

Friedman, Charles N. (1993). «Sums of divisors and Egyptian fractions». Journal of Number Theory 44 (3): 328-339. MR 1233293. Zbl 0781.11015. doi:10.1006/jnth.1993.1057. Archivado desde el original el 10 de febrero de 2012.
Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer Science+Business Media. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001. Apartado B2.
Sierpiński, Wacław (1965). «Sur les nombres pseudoparfaits». Mat. Vesn. Nouvelle Série (en francés) 2 (17): 212-213. MR 199147. Zbl 0161.04402.
Zachariou, Andreas; Zachariou, Eleni (1972). «Perfect, semiperfect and Ore numbers». Bull. Soc. Math. Grèce. Nouvelle Série 13: 12-22. MR 360455. Zbl 0266.10012.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Pseudoperfect Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Primitive semiperfect number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.