Número de Munchausen

En teoría de números, un invariante perfecto dígito a dígito (PDDI por las siglas del término inglés "perfect digit-to-digit invariant"; también conocido como número de Munchausen^[1]​) es un número natural en una base ${\displaystyle b}$ dada que es igual a la suma de sus dígitos, cada uno elevado a una potencia igual a sí mismo.

Un ejemplo en base 10 es 3435, porque:   ${\displaystyle 3435=3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}}$.

El término "número de Munchausen" fue acuñado por el matemático e ingeniero de software holandés Daan van Berkel en 2009,^[2]​ ya que evoca la historia del Barón de Münchhausen que se levantaba del suelo tirando de su propia coleta, lo que sirve de referencia a que cada dígito se debe elevar a una potencia igual a sí mismo.^[3]​^[4]​

Definición

Sea ${\displaystyle n}$ un número natural que se puede escribir en base ${\displaystyle b}$ como el número de k dígitos ${\displaystyle d_{k-1}d_{k-2}...d_{1}d_{0}}$ donde cada dígito ${\displaystyle d_{i}}$ está entre ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle b-1}$ inclusive, y ${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$. Se define la función ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ como ${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d_{i}}^{d_{i}}}$.

Como 0⁰ no siempre está definido, se usan dos convenciones, una en la que se considera que es igual a uno y otra en la que se considera que es igual a cero.^[5]​^[6]​

Un número natural ${\displaystyle n}$ se define como un invariante perfecto dígito a dígito en base b si ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$. Por ejemplo, el número 3435 es un invariante perfecto de dígito a dígito en base 10 porque ${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435}$

${\displaystyle F_{b}(1)=1}$ para todo ${\displaystyle b}$, y por lo tanto 1 es un invariante perfecto dígito a dígito "trivial" en todas las bases, y todos los demás invariantes dígito a dígito perfectos son "no triviales". Para la segunda convención donde ${\displaystyle 0^{0}=0}$, tanto ${\displaystyle 0}$ como ${\displaystyle 1}$ son invariantes perfectos de dígito a dígito triviales.

Un número natural ${\displaystyle n}$ es un invariante dígito a dígito sociable si es un punto periódico para ${\displaystyle F_{b}}$, donde ${\displaystyle F_{b}^{k}(n)=n}$ para un entero positivo ${\displaystyle k}$, y forma un ciclo de período ${\displaystyle k}$. Un invariante perfecto dígito a dígito es un invariante sociable dígito a dígito con ${\displaystyle k=1}$. Un invariante dígito a dígito amistoso es un invariante dígito a dígito sociable con ${\displaystyle k=2}$.

Todos los números naturales ${\displaystyle n}$ son puntos preperiódicos para ${\displaystyle F_{b}}$, independientemente de la base. Esto se debe a que todos los números naturales de base ${\displaystyle b}$ con ${\displaystyle k}$ dígitos satisfacen que ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (k){(b-1)}^{b-1}}$. Sin embargo, cuando ${\displaystyle k\geq b+1}$, ${\displaystyle b^{k-1}>(k){(b-1)}^{b-1}}$, por lo que cualquier ${\displaystyle n}$ satisfará a ${\displaystyle n>F_{b}(n)}$ hasta ${\displaystyle n<b^{b+1}}$.

Hay un número finito de números naturales menor que ${\displaystyle b^{b+1}}$, por lo que se garantiza que el número alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que ${\displaystyle b^{b+1}}$, convirtiéndolo en un punto preperiódico. Esto también significa que hay un número finito de invariantes dígito a dígito perfectos y ciclos para cualquier base dada ${\displaystyle b}$.

El número de iteraciones ${\displaystyle i}$ necesarias para que ${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$ alcance un punto fijo es la función de persistencia ${\displaystyle b}$-factorión de ${\displaystyle n}$, e indefinido si nunca llega a un punto fijo.

Invariantes y ciclos perfectos dígito a dígito de F_b para b específica

Todos los números están representados en la base ${\displaystyle b}$.

Convención 0⁰ = 1

Base	Invariantes dígito a dígito perfectos no triviales (${\displaystyle n\neq 1}$)	Ciclos
2	10	${\displaystyle \varnothing }$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	131, 313	2 → 10 → 2
5	${\displaystyle \varnothing }$	2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104
6	22352, 23452	4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445
7	13454	12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066
8		405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405
9	31, 156262, 1656547
10	3435
11
12	3A67A54832

Convención 0⁰ = 0

Base	Invariantes dígito a dígito perfectos no triviales (${\displaystyle n\neq 0}$, ${\displaystyle n\neq 1}$)[1]​	Ciclos
2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	130, 131, 313	${\displaystyle \varnothing }$
5	103, 2024	2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9
6	22352, 23452	5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53
7	13454
8	400, 401
9	30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084
10	3435, 438579088
11	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
12	3A67A54832

Ejemplos de programación

Python

El siguiente programa en Python determina si un número entero es un Número de Munchausen (o invariante perfecto dígito a dígito) o no, siguiendo la convención ${\displaystyle 0^{0}=1}$.

num = int(input("Enter number:"))
temp = num
s = 0.0
while num > 0:
     digit = num % 10
     num //= 10
     s+= pow(digit,digit)
     
if s == temp:
    print("Munchausen Number")
else:
    print("Not Munchausen Number")

Los ejemplos siguientes desarrollan la función invariante de dígito a dígito perfecta descrita en la definición anterior en Python para las dos convenciones.

Convención 0⁰ = 1

def pddif(x: int, b: int) -> int:
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + pow(x % b, x % b)
        x = x // b
    return total

def pddif_cycle(x: int, b: int) -> List[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = pddif(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = pddif(x, b)
    return cycle

Convención 0⁰ = 0

def pddif(x: int, b: int) -> int:
    total = 0
    while x > 0:
        if x % b > 0:
            total = total + pow(x % b, x % b)
        x = x // b
    return total

def pddif_cycle(x: int, b: int) -> List[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = pddif(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = pddif(x, b)
    return cycle

Java

El siguiente programa en Java determina si un número entero es un Número de Munchausen o no, siguiendo la convención ${\displaystyle 0^{0}=1}$.

import java.util.Scanner;
public class Munchausen
{
    public static void main ()
    {
        Scanner in = new Scanner (System.in);
       System.out.println("Enter number:");
       int num = in.nextInt(), temp = num, digit; double sum = 0;
       while (num>0)
       { digit = num % 10;
         num /= 10;
         sum += Math.pow(digit, digit);
        }
        
        if (sum == temp)
        System.out.print("Munchausen Number");
        else
        System.out.print("Not Munchausen Number");
    }
}

Véase también

Referencias

Enlaces externos

• Parker, Matt. «3435». Numberphile. Brady Haran. Archivado desde el original el 13 de abril de 2017. Consultado el 1 de abril de 2013. 
• Los números de Munchausen (gaussianos.com)