Haz de jets

En topología diferencial, un haz de jets es una construcción que genera un nuevo fibrado diferenciable de un haz dado de fibras suaves. Hace posible escribir ecuaciones diferenciales en secciones de un haz de fibras en una forma invariante. Los jets también se pueden ver como las versiones de la serie de Taylor libres de coordenadas.

Históricamente, los haces de jets se atribuyen a Ehresmann, y fueron un avance en el método (prolongación) de Élie Cartan, de tratar geométricamente con derivadas sucesivas, al imponer condiciones diferenciales a las variables formales recientemente introducidas. Los haces de jets a veces se llaman espráis, aunque los espráis por lo general se refieren más específicamente al campo vectorial asociado inducido en el haz correspondiente (por ejemplo, el espray geodésico en variedades de Finsler).

Más recientemente, los haces de jets han aparecido como una forma concisa para describir los fenómenos asociados con las aplicaciones de derivadas, en particular las asociadas con el cálculo de variaciones. En consecuencia, ahora se reconoce que el haz de jets es el dominio correcto para la teoría de campo covariante geométrica clásica, y se realiza mucho trabajo en las formulaciones de campos en la relatividad general que utilizan este enfoque.

Jets

Supóngase que M es una variedad m-dimensional y que (E, π, M) es un fibrado. Para p ∈ M, sea Γ(p) el conjunto de todas las secciones locales cuyo dominio contiene p. Se define I = (I(1), I(2), ..., I(m)) como una entidad multi indexada no ordenada (una m-tupla de enteros), tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}$

Defínanse las secciones locales σ, η ∈ Γ(p) que tienen el mismo r-jet en p si

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}$

La relación de que dos aplicaciones tienen el mismo r-jet es una relación de equivalencia. Un r-jet es una clase de equivalencia bajo esta relación, y el r-jet con el representante σ se denota ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }$. El número entero r también se llama orden del jet, p es su fuente y σ(p) es su objetivo.

Variedades de jet

El r-ésimo múltiplo del jet de π es el conjunto

${\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}$

Se pueden definir las proyecciones π_r y π_r,0 denominadas proyecciones fuente y objetivo, respectivamente, por

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}$

Si 1 ≤ k ≤ r, entonces un k-jet es la función π_r,k definida por

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}$

De esta definición, está claro que π_r = π o π_r,0 y que si 0 ≤ m ≤ k, entonces π_r,m = π_k,m o π_r,k. Es convencional considerar π_r,r como la función identidad en J ^r(π) e identificar J ⁰(π) con E.

Las funciones π_r,k, π_r,0 y π_r son funciones sobreyectivas suaves inmersas.

Un sistema de coordenadas en E generará un sistema de coordenadas en J ^r (π). Sea (U, u) un atlas adaptado en E, donde u = (xⁱ, u^α). El gráfico de coordenadas inducidas (U^r,u^r) en J ^r (π) se define por

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}(j_{p}^{r}\sigma )&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }(j_{p}^{r}\sigma )&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}$

y las funciones ${\displaystyle n\left({}^{m+r}C_{r}-1\right)}$ son conocidas como las coordenadas derivadas:

${\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }(j_{p}^{r}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}$

Dado un atlas de mapas adaptados (U, u) en E, la colección correspondiente de mapas (U  ^r, u ^r) es un atlas de dimensión finita C^∞ sobre J ^r( π).

Haces de jets

Dado que el atlas en cada J^r (π) define una variedad, las tripletas (J^r (π), π_r,k, J^k (π)), (J^r (π), π_r,0, E) y (J^r (π), π_r, M) definen todas las variedades de fibras. En particular, si (E, π, M) es un paquete de fibras, el triplete (J^r (π), π_r, M) define el r-ésimo jet de π.

Si W ⊂ M es una subvariedad abierta, entonces

${\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}$

Si p ∈ M, entonces la fibra ${\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}$ se denota como ${\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}$.

Sea σ una sección local de π con dominio W ⊂ M. La r-prolongación del jet de σ es la aplicación j^rσ: W → J^r (π) definido por

${\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}$

Téngase en cuenta que π_r o j^rσ = id_W, por lo que j^rσ realmente es una sección. En coordenadas locales, j^rσ viene dada por

${\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{|I|}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}$

identificando j⁰σ con σ.

Perspectiva algebraico-geométrica

A continuación se da una construcción motivada independientemente del haz de secciones ${\displaystyle \Gamma J^{k}(\pi _{TM})}$.

Considérese una aplicación diagonal ${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$, donde el múltiplo diferenciable ${\displaystyle M}$ es un espacio localmente anillado por ${\displaystyle C^{k}(U)}$ para cada ${\displaystyle U}$ abierto. Sea ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ la banda ideal ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$, de manera equivalente sea ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ el haz de gérmenes diferenciables que se anulan en ${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$ para todos los ${\displaystyle 0<n\leq k}$. La imagen inversa de la teoría de haces ${\displaystyle {\Delta _{n}}^{*}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1})}$ de ${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$ a ${\displaystyle M}$ por ${\displaystyle \Delta _{n}}$ es el haz de k-jets.^[1]​

El límite directo de la secuencia de aplicaciones inyectivas dada por las inclusiones canónicas ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}}$ de haces da lugar al haz infinito de jets ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{\infty }(TM)}$. Obsérvese que debido a la construcción de límite directo se trata de un anillo filtrado.

Ejemplo

Si π es el fibrado (M × R, pr₁, M), entonces existe un difeomorfismo canónico entre el primer haz de jets J¹ (π) y T * M × R. Para construir este difeomorfismo, para cada σ en Γ_M (π), debe escribirse como ${\displaystyle {\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,}$.

Entonces, cada vez que p ∈ M

${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma =\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\}.\,}$

En consecuencia, la aplicación

${\displaystyle {\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto (d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p))\end{cases}}}$

está bien definida y es claramente una función inyectiva. Transcribirlo a coordenadas demuestra que es un difeomorfismo, porque si (xⁱ, u) son coordenadas en M × R, donde u = id_R es la identidad de coordenadas, entonces las coordenadas derivadas u_i en J¹(π) corresponden a las coordenadas ∂_i en T * M.

Del mismo modo, si π es el haz trivial (R × M, pr₁, R), entonces existe un difeomorfismo canónico entre J¹(π) y R × TM.

Estructura de contacto

El espacio J^r(π) tiene una distribución natural, es decir, un subconjunto del fibrado tangente TJ^r(π), llamado distribución de Cartan. La distribución de Cartan se extiende por todos los planos tangentes a gráficos de secciones holonómicas; es decir, secciones de la forma j^rφ, siendo φuna sección de π.

El inverso de la distribución de Cartan es un espacio diferencial de forma 1, llamado forma de contacto en J^r(π). El espacio de formas únicas diferenciables en J^r(π) se denota por ${\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}$ y el espacio de formas de contacto se denota por ${\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }$. Una forma es una forma de contacto siempre que su aplicación regrediente en cada prolongación sea cero. En otras palabras, ${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }$ es una forma de contacto si y solo si

${\displaystyle (j^{r+1}\sigma )^{*}\theta =0}$

para todas las secciones locales σ de π sobre M.

La distribución de Cartan es la estructura geométrica principal en los espacios de jets y juega un papel importante en la teoría geométrica de las ecuaciones en derivadas parciales. Las distribuciones de Cartan son completamente no integrables. En particular, no son involutivas. La dimensión de la distribución de Cartan crece con el orden del espacio del jet. Sin embargo, en el espacio de jets infinitos J^∞, la distribución de Cartan se vuelve involutiva y de dimensión finita: su dimensión coincide con la dimensión de la variedad de base M.

Ejemplo

Considésese el caso (E, π, M), donde E ≃ R² y M ≃ R. Entonces, (J¹(π), π, M) define el primer haz de jets, y puede expresarse en las coordenadas (x, u, u₁), donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}}$

para todos los p ∈ M y σ en Γ_p(π). Una 1-forma general en J¹(π) tiene la expresión

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,}$

Una sección σ en Γ_p(π) tiene una primera prolongación

${\displaystyle j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).}$

Por lo tanto, (j¹σ) * θ se puede calcular como

${\displaystyle {\begin{aligned}(j_{p}^{1}\sigma )^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}}$

Esta expresión se anulará para todas las secciones σ si y solo si c = 0 y a = -bσ'(x). Por lo tanto, θ = b (x, u, u₁) θ₀ debe ser necesariamente un múltiplo de la forma básica de contacto θ₀ = du-u₁dx. Continuando con el segundo espacio de jets J²(π) con la coordenada adicional u₂ , tal que

${\displaystyle u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,}$

se genera una 1-forma general con la construcción

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,}$

Este es una forma de contacto si y solo si

${\displaystyle {\begin{aligned}(j_{p}^{2}\sigma )^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+\\&\qquad \qquad +c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}}$

lo que implica que e = 0 y a = -bσ'(x)-cσ(x). Por lo tanto, θ es una forma de contacto si y solo si

${\displaystyle \theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},}$

donde θ₁ = du₁-u₂dx es la siguiente forma de contacto básico (téngase en cuenta que aquí se está identificando la forma θ₀ con su regrediente ${\displaystyle (\pi _{2,1})^{*}\theta _{0}}$ sobre J²(π)).

En general, proporcionando x, u ∈ R, una forma de contacto en J^r+1(π) se puede escribir como una combinación lineal de las formas de contacto básicas

${\displaystyle \theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,}$

donde

${\displaystyle u_{k}(j^{k}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.}$

Argumentos similares conducen a una caracterización completa de todas las formas de contacto.

En coordenadas locales, cada contacto de una forma en J^r+1(π) se puede escribir como una combinación lineal

${\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{i}\theta _{i}^{\alpha }}$

con coeficientes diferenciables ${\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}$ de los formas de contacto básicas

${\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }=du_{i}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}$

|I| se conoce como el orden de la forma de contacto ${\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}$. Téngase en cuenta que las formas de contacto en J^r+1(π) tienen órdenes r como máximo. Las formas de contacto proporcionan una caracterización de aquellas secciones locales de π_r+1 que son prolongaciones de secciones de π.

Sea ψ ∈ Γ_W(π_r+1), entonces ψ = j^r+1σ donde σ ∈_W(π) si y solo si ${\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}$

Campos vectoriales

Un campo vectorial general sobre el espacio total E, coordenado por ${\displaystyle (x,u)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (x^{i},u^{\alpha })\,}$, es

${\displaystyle V\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}$

Un campo vectorial se llama horizontal si todos los coeficientes verticales desaparecen cuando ${\displaystyle \phi ^{\alpha }}$ = 0.

Un campo vectorial se llama vertical si todos los coeficientes horizontales desaparecen cuando ρⁱ = 0.

Para (x, u) fijo, se identifica

${\displaystyle V_{(x,u)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

teniendo coordenadas (x, u, ρⁱ, φ^α), con un elemento en la fibra T_xuE de TE sobre (x, u) en E, llamado un vector tangente en TE. Una sección

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}$

se llama un campo vectorial en E con

${\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}$

y ψ en Γ(TE).

El haz de planos J^r(π) está coordenado por ${\displaystyle (x,u,w)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha })\,}$. Para (x, u, w) fijo, se identifica

${\displaystyle V_{(x,u,w)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}$

con las coordenadas

${\displaystyle (x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }),}$

con un elemento en el haz ${\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}$ de TJ^r(π) sobre (x, u, w) ∈ J^r(π), llamado un vector tangente en TJ^r(π). Aquí,

${\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}$

son funciones con valores reales en J^r(π). Una sección

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}$

es un campo vectorial en J^r(π), y se dice que ${\displaystyle \Psi \in \Gamma (T(J^{r}\pi )).}$

Ecuaciones diferenciales parciales

Sea (E, π, M) un haz de fibras. Una ecuación en derivadas parciales de 'r-ésimo orden en π es una variedad cerrada embebida en la subvariedad S de la variedad de jets J^r (π). Una solución es una sección local σ ∈ _W(π) que satisface ${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}$, para todo p en M.

Considérese un ejemplo de una ecuación diferencial parcial de primer orden:

Ejemplo

Sea π el haz trivial (R ² × R, pr₁, R²) con coordenadas globales (x¹, x' '², u¹). Entonces la aplicación F: J¹ (π) → R definida por

${\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}$

da lugar a la ecuación diferencial

${\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)(j_{p}^{1}\sigma )=0\right\}}$

que se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.}$

En particular

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}$

tiene una primera prolongación dada por

${\displaystyle j^{1}\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2},(p^{2})^{2},2p^{1}p^{2}\right)}$

y es una solución de esta ecuación diferencial, porque

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)(j_{p}^{1}\sigma )&=u_{1}^{1}(j_{p}^{1}\sigma )u_{2}^{1}(j_{p}^{1}\sigma )-2x^{2}(j_{p}^{1}\sigma )u^{1}(j_{p}^{1}\sigma )\\&=(p^{2})^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}(p^{2})^{2}\\&=2p^{1}(p^{2})^{3}-2p^{1}(p^{2})^{3}\\&=0\end{aligned}}}$

y entonces ${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}$ para cada p ∈ 'R' ².

Prolongación de un jet

Un difeomorfismo local ψ: J^r(π) → J^r (π) define una transformación de contacto de orden r si preserva el contacto ideal, lo que significa que si θ es cualquier forma de contacto en J^r(π), entonces ψ * θ también es una forma de contacto.

El flujo generado por un campo vectorial V^r en el espacio de jets J^r (π) forma un grupo de un solo parámetro de transformaciones de contacto si y solo si la derivada de Lie ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}$ de cualquier forma de contacto θ conserva el contacto ideal.

Para el caso de primer orden, se considera un campo de vectores general V¹ en J¹ (π), dado por

${\displaystyle V^{1}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\rho ^{i}(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}$

Ahora se aplica ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}$ a las formas de contacto básicas ${\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}$ y se amplia la derivada exterior de las funciones en términos de sus coordenadas para obtener:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta _{0}^{\alpha })&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i})\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha })dx^{i}-u_{i}^{\alpha }({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i})\\&=d(V^{1}u^{\alpha })-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d(V^{1}x^{i})\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i})+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i})+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, V¹ determina una transformación de contacto si y solo si los coeficientes de dxⁱ y ${\displaystyle du_{i}^{k}}$ desaparecen. Los últimos requisitos implican las condiciones de contacto

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}$

Los requisitos anteriores proporcionan fórmulas explícitas para los coeficientes de los primeros términos derivados en V¹:

${\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l})}$

donde

${\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}$

denota el truncamiento de orden cero-ésimo de la derivada total D_i.

Por lo tanto, las condiciones de contacto únicamente prescriben la prolongación de cualquier punto o campo vectorial de contacto. Es decir, si ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}$ satisface estas ecuaciones, V^r se denomina r-ésima prolongación de V a un campo vectorial en J^r(π).

Estos resultados se entienden mejor cuando se aplican a un ejemplo particular:

Ejemplo

Considérese el caso (E, π, M), donde E ≅ R² y M ≃ R. Entonces, (J¹(π), π, E) define el primer haz del jet, y puede ser coordenado por (x, u, u₁), donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}$

para todos los p ∈ M y σ en Γ_p(π). Un forma de contacto en J¹(π) tiene la propiedad de que

${\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}$

Considérese ahora un vector V en E, teniendo la forma

${\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}$

Entonces, la primera prolongación de este campo vectorial a J¹(π) es

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}$

Si ahora se toma la derivada de Lie de la forma de contacto con respecto a este campo de vector prolongado, se obtiene ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1})dx-u_{1}({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx)\\&=d(V^{1}u)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d(V^{1}x)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}$

Por lo tanto, para la preservación del contacto ideal, se requiere que

${\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}$

Y entonces la primera prolongación de V a un campo de vectores en J¹(π) es

${\displaystyle V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.}$

Calculando también la segunda prolongación de V a un campo vectorial en J²(π), se tienen ${\displaystyle \{x,u,u_{1},u_{2}\}}$ como coordenadas en J²(π). Por lo tanto, el vector prolongado tiene la forma

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Las formas de contacto son

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}$

Para preservar el contacto ideal, se requiere

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})=0\end{aligned}}}$

Ahora, θ no tiene dependencia de u₂. Por lo tanto, a partir de esta ecuación se deduce la fórmula para ρ, que necesariamente será el mismo resultado encontrado para V¹. Por lo tanto, el problema es análogo a la prolongación del campo vectorial V¹ a J² (π). Es decir, se puede generar la r-ésima prolongación de un campo vectorial mediante la aplicación recursiva de la derivada de Lie de las formas de contacto con respecto a los campos vectoriales prolongados r veces. Entonces se tiene que

${\displaystyle \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}}$

y entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la derivada de Lie de la segunda forma de contacto con respecto a V² es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2})dx-u_{2}({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, para que ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})}$ preserve el contacto ideal, es necesario que

${\displaystyle 3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.}$

Y entonces, la segunda prolongación de V a un campo de vectores en J²(π) es

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

Hay que tener en cuenta que la primera prolongación de V se puede recuperar al omitir los términos de la segunda derivada en V², o al proyectar de nuevo a J¹ (π).

Espacios de jets infinitos

El límite inverso de la secuencia de proyecciones ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ da lugar al "espacio de jets infinito J^∞(π). Un punto ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ es la clase de equivalencia de las secciones de π que tienen el mismo k-jet en p que en σ para todos los valores de k. La proyección natural π_∞ asigna ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ a p.

Solo pensando en términos de coordenadas, J^∞(π) parece ser un objeto geométrico de dimensión infinita. De hecho, la forma más simple de introducir una estructura diferenciable en J^∞(π), sin depender de gráficos diferenciables, viene dada por el cálculo diferencial sobre álgebras acumulativas. Dual a la secuencia de proyecciones ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ de variedades es la secuencia de aplicaciones inyectivas ${\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }(J^{k+1}(\pi ))}$ de álgebras conmutativas. Denotando ${\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}$ simplemente por ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$, el límite directo ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$ de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$ será un álgebra conmutativa, que se puede suponer que es el álgebra de las funciones suaves sobre el objeto geométrico J^∞(π). Obsérvese que ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$, que nace como un límite directo, tiene una estructura adicional: es un álgebra conmutativa filtrada.

A grandes rasgos, un elemento concreto ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}$ siempre pertenecerá a algún ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$, por lo que es una función suave en variedad de dimensión finita J^k (π) en el sentido habitual.

Ecuaciones en derivadas parciales infinitamente prolongadas

Dado un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de orden k-ésimo E ⊆ J^k(π), la variedad de funciones suaves I(E) que se anulan en E sobre 'J^∞(π) es un ideal en el álgebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$, y por lo tanto también lo es en el límite directo ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$.

Complétese I(E) agregando todas las composiciones posibles totalmente derivables aplicadas a todos sus elementos. De esta forma se obtiene un nuevo I, ideal de ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$ que ahora se cierra bajo la operación de poseer derivada total. La subvariedad E_(∞) de J^∞(π) recortada por I se llama prolongación infinita de E.

Geométricamente, "E"_(∞) es la variedad de soluciones formales de E. Se puede ver fácilmente que un punto ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$ de E_(∞) está representado por una sección σ cuyo gráfico de k-jets es tangente a E en el punto ${\displaystyle j_{p}^{k}(\sigma )}$ con un orden arbitrariamente alto de tangencia.

Analíticamente, si E viene dado por φ = 0, una solución formal puede entenderse como el conjunto de coeficientes de Taylor de una sección σ en un punto p que hace desaparecer la serie de Taylor de ${\displaystyle \varphi \circ j^{k}(\sigma )}$ en el punto p.

Lo más importante es que las propiedades de cierre de I implican que E_(∞) es tangente a la estructura de contacto de orden infinito ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ en J^∞(π), de modo que al restringir ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ a E_(∞) se obtiene el diffiety ${\displaystyle (E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})}$, y se puede estudiar la secuencia C-espectral asociada.

Observaciones

Este artículo ha definido jets de secciones locales de un haz, pero es posible definir jets de funciones f: M → N, donde M y N son múltiples; el jet de f simplemente corresponde al jet de la sección

gr_f: M → M × N

gr_f (p) = (p, f (p))

(gr_f se conoce como el gráfico de la función f) del haz trivial (M × N, π₁, M ). Sin embargo, esta restricción no simplifica la teoría, ya que la trivialidad global de π no implica la trivialidad global de π₁.

Véase también

• Grupo de jets
• Jet (matemáticas)
• Sistema lagrangiano
• Bicomplejo variacional

Referencias

Bibliografía

• Ehresmann, C., "Introducción a la teoría de las estructuras infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie". Geometrie Differentielle , Colloq. Enterrar. du Centre Nat. de la Recherche Scientifique, Estrasburgo, 1953, 97-127.
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993 .ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
• Saunders, D. J., "La geometría de los paquetes de Jet", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., [et al.], "Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática", Amer. Mates. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
• Olver, P. J., "Equivalencia, invariantes y simetría", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., "Teoría avanzada del campo clásico", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7
• Sardanashvily, G., Geometría diferencial avanzada para teóricos. Paquetes de fibras, colectores de chorro y teoría de Lagrange ", Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv: 0908.1886