Función trigamma

Este artículo trata sobre la función trigamma. Para la función gamma triple, véase función gamma de Barnes.
Trigamma function ψ 1 ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)} in the complex plane. The color of a point z {\displaystyle z} encodes the value of ψ 1 ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)} . Strong colors denote values close to zero and hue encodes the value's argument.

En matemática, la función trigamma, denotada mediante ψ1(z), es la segunda de las funciones poligamma, y es definida mediante

ψ 1 ( z ) = d 2 d z 2 ln ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)} .

Se observa de esta definición que

ψ 1 ( z ) = d d z ψ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}

donde ψ(z) es la función digamma. Se puede definir también como la suma de la serie

ψ 1 ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( z + n ) 2 , {\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}

haciéndola un caso especial de la función zeta de Hurwitz

ψ 1 ( z ) = ζ ( 2 , z ) . {\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).{\frac {}{}}}

Nótese que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1-z no es un número natural.

Representaciones

Una representación, en forma de integral doble, como una alternativa a una de las dadas arriba, puede ser derivada de la representación en forma de serie:

ψ 1 ( z ) = ∫ 0 1 ∫ 0 y x z − 1 y 1 − x d x d y {\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,dx\,dy}

usando la fórmula de la suma de la serie geométrica. Integrando por partes se obtiente:

ψ 1 ( z ) = − ∫ 0 1 x z − 1 ln ⁡ x 1 − x d x {\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}

Una expansión asintótica en términos de los números de Bernoulli es

ψ 1 ( 1 + z ) = 1 z − 1 2 z 2 + ∑ k = 1 ∞ B 2 k z 2 k + 1 {\displaystyle \psi _{1}(1+z)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}} .

Fórmulas de recurrencia y reflexión

La función trigamma satisface la siguiente relación de recurrencia:

ψ 1 ( z + 1 ) = ψ 1 ( z ) − 1 z 2 {\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}

y la fórmula de reflexión:

ψ 1 ( 1 − z ) + ψ 1 ( z ) = π 2 csc 2 ⁡ ( π z ) . {\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,}

Valores especiales

La función trigamma tiene los siguientes valores especiales:

ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 K {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K}
ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}}
ψ 1 ( 1 ) = π 2 6 {\displaystyle \psi _{1}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

donde K representa la constante de Catalan.

Véase también

Referencias

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See section §6.4
  • Weisstein, Eric W. «Trigamma». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
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