Conjugado armónico

En matemáticas, se dice que una función de variables reales ${\displaystyle u(x,y)}$ definida en un conjunto abierto conexo ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ tiene una función conjugada ${\displaystyle v(x,y)}$ si y sólo si son respectivamente las partes reales e imaginarias de un función holomorfa ${\displaystyle f(z)}$ de variable compleja${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega .}$ Es decir,${\displaystyle v}$ es conjugada de ${\displaystyle u}$ si y solo si ${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$ es holomorfa en ${\displaystyle \Omega }$. Como primera consecuencia de la definición, ambas funciones son armónicas en ${\displaystyle \Omega }$. Además, si existe la conjugada de ${\displaystyle u,}$ esta es única salvo una constante aditiva.

Descripción

Una definición equivalente es que, ${\displaystyle v}$ es conjugada de ${\displaystyle u}$ en ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}$ si y sólo si satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann en ${\displaystyle \Omega .}$ Como consecuencia, si ${\displaystyle u}$ es cualquier función armónica ${\displaystyle \Delta u=0}$ en ${\displaystyle \Omega }$ la función ${\displaystyle u_{y}}$ es conjugada para ${\displaystyle -u_{x},}$ entonces las ecuaciones de Cauchy–Riemann son justamente la simetría de las segundas derivadas mixtas ${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}.}$, Por tanto, una función armónica ${\displaystyle u}$ admite una armónica conjugada si y sólo si la función holomorfa ${\displaystyle g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}$ tiene como primitiva a ${\displaystyle f(z)}$ en cuyo caso una conjugada de ${\displaystyle u}$ es, naturalmente, ${\displaystyle \mathrm {Im} f(x+iy).}$ Así que cualquier función armónica siempre admite un función conjugada siempre que su dominio sea simplemente conexo, y en cualquier caso admite un conjugado localmente en cualquier punto de su dominio.

Al operador que toma una función armónica en una región simplemente conexa y devuelve su armónica conjugadase le conoce como transformada de Hilbert y está relacionado con los operadores integrales singulares. Una generalización son las transformadas de Bäcklund lineales; las cuales son de interés en el estudio de solitones y sistemas integrables.

Geométricamente las armónicas conjugadas tienen trayectorias ortogonales, fuera de los ceros de la función holomorfa subyacente; los contornos en qué u y v son constantes se cruzan en ángulos rectos. A f también se le conoce como potencial complejo, donde u es la función potencial y v es la función de corriente.

Armónico conjugado en geometría

Hay una ocurrencia adicional del término armónico conjugado en matemáticas, específicamente en geometría proyectiva. Dos puntos A y B son armónicos conjugados con respecto a otro par de puntos C y D si la razón armónica es -1, es decir ${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}=-1}$.

Referencias

• Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Complex variables and applications (6th edición). New York: McGraw-Hill. p. 61. ISBN 0-07-912147-0. «If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u.» 

Enlaces externos

• Proporción armónica
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Conjugado armónico», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .