Zylindrische σ-Algebra

Die zylindrische σ-Algebra ist eine σ-Algebra, welche durch die Zylindermengen eines Vektorraumes erzeugt wird. Die Zylindermengen hängen von einem Raum von linearen Funktionen ab, dies kann zum Beispiel der topologische Dualraum sein, die zylindrische σ-Algebra ist dann die kleinste σ-Algebra, so dass diese Funktionen messbar sind. Die zylindrische σ-Algebra ist eine Teilmenge der borelschen σ-Algebra und im Allgemeinen nicht gleich.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein reeller Vektorraum, ${\displaystyle F}$ ein linearer Raum von linearen reellen Funktionen auf ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ die borelsche σ-Algebra. Wir nennen eine Menge der Form

${\displaystyle Z_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X:(f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x))\in B\}}$

für ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in F}$ und ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine ${\displaystyle F}$-Zylindermenge. Man nennt ${\displaystyle B}$ die Basis des Zylinders und ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ seine Erzeuger.

Die Familie aller ${\displaystyle F}$-Zylindermengen notieren wir mit ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F)}$.^[1] Diese ist im Allgemeinen nur eine Algebra und wird zylindrische Algebra genannt. Die kleinste σ-Algebra, die ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F)}$ enthält, ist die σ-Algebra

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,F):=\sigma (F)=\sigma ({\mathcal {Zyl}}(X,F))}$

und wird zylindrische σ-Algebra oder auch ${\displaystyle F}$-zylindrische σ-Algebra genannt. Weiter gilt^[2]

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}(X).}$

Schreibt man nur ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X),}$ dann meint man in der Regel einfach die σ-Algebra aller Zylindermengen von ${\displaystyle X}$.

Wichtiger Spezialfall

Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Raum und ${\displaystyle F\subseteq X'}$, wobei ${\displaystyle X'}$ der topologische Dualraum ist. Die zylindrische σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ ist gerade die kleinste σ-Algebra, so dass alle stetigen linearen Funktionale messbar sind.^[2]

Oder in anderen Worten, die σ-Algebra wird durch die Mengen der Form

${\displaystyle \{x\in X:f(x)<c\}}$

mit ${\displaystyle f\in X'}$ und ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ erzeugt.

Vergleich zu anderen σ-Algebren

Im Allgemeinen gilt

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X),}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ die bairesche σ-Algebra ist.

Ist zum Beispiel ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{T}}$ und ${\displaystyle T}$ überabzählbar, dann gilt ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,F)<{\mathcal {B}}(X)}$.^[3]

Für den topologischen Dualraum gilt

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X',X)\subseteq {\mathcal {E}}(X',X'')\subseteq {\mathcal {B}}(X').}$

Gleichheit zur borelschen σ-Algebra

• Ein Lindelöf-Raum ${\displaystyle X}$ heißt erblich, wenn jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist. Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Raum, der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist. Dann gilt folgende Gleichheit

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).}$^[4]

• Ist ${\displaystyle X}$ ein separabler Fréchet-Raum (insbesondere jeder separable Banach-Raum) und ${\displaystyle \Gamma \subseteq X'}$ eine Menge, welche die Punkte in ${\displaystyle X}$ trennt (d. h. für jedes ${\displaystyle x\neq 0}$ existiert ein ${\displaystyle f\in \Gamma }$ mit ${\displaystyle f(x)\neq 0}$), so gilt

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,\Gamma )={\mathcal {B}}(X).}$

Insbesondere gilt wegen des Satzes von Hahn-Banach für einen separablen Fréchet-Raum

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).}$^[5][3]

Gleichheit zur baireschen σ-Algebra

Es gilt

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,C_{b}(X,\mathbb {R} )),}$

wobei ${\displaystyle C_{b}(X,\mathbb {R} )}$ der Raum der stetigen und beschränkten Funktionen ist.^[6]

Literatur

• Wladimir I. Bogatschow: Measure Theory. Hrsg.: Physica-Verlag. Band 2, 2007. 
• N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987. 

Siehe auch

• Zylindrisches Maß

Einzelnachweise

1. ↑ N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987, S. 3–4. 
2. ↑ ^{a b} Wladimir I. Bogatschow: Measure Theory. Hrsg.: Physica-Verlag. 2007, S. 117. 
3. ↑ ^{a b} Wladimir I. Bogatschow: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 1-4704-1869-X, S. 374. 
4. ↑ Itaru Mitoma, Susumu Okada und Yoshiaki Okazaki: Cylindrical σ-algebra and cylindrical measure. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 14, Nr. 3, 1977, S. 640 (Theorem 3.6). 
5. ↑ N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987, S. 17. 
6. ↑ N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987, S. 4.