Weierstraßsches Majorantenkriterium

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Aussage

Sei ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge A {\displaystyle A} . Seien M n {\displaystyle M_{n}} reelle Konstanten, so dass

| f n ( x ) | ≤ M n {\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}

für alle n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} und alle x {\displaystyle x} in A {\displaystyle A} gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe ∑ n = 1 ∞ M n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}} .

Dann gilt: Die Reihe

∑ n = 1 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}

konvergiert absolut und gleichmäßig auf A {\displaystyle A} .[1]

Beispiel

Sei 0 < α < 1 {\displaystyle 0<\alpha <1} eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 2 − n α e i 2 n x {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}}

überall stetig, aber nirgends differenzierbar.[2] Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

| 2 − n α e i 2 n x | = 2 − n α {\displaystyle \left|2^{-n\alpha }e^{i2^{n}x}\right|=2^{-n\alpha }}

sowie

∑ n = 0 ∞ 2 − n α = ∑ n = 0 ∞ ( 1 2 α ) n = 1 1 − 2 − α < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{\alpha }}}\right)^{n}={\frac {1}{1-2^{-\alpha }}}<\infty }

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe f ( x ) {\displaystyle f(x)} gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen f {\displaystyle f} konvergiert. Damit ist f {\displaystyle f} als ein solcher Grenzwert stetig.

Literatur

  • Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)

Einzelnachweise

  1. ↑ H. Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. Vieweg+Teubner (2009), Satz 105.3, S. 555.
  2. ↑ E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis. An Introduction. University Press Group Ltd (2003), Theorem 3.1, S. 114.