Satz von Dini

In der Mathematik besagt der (nach Ulisse Dini benannte) Satz von Dini, dass eine monotone Folge reellwertiger stetiger Funktionen mit stetiger Grenzfunktion auf Kompakta gleichmäßig konvergiert.

Aussage

Sind X {\displaystyle X} ein kompakter topologischer Raum,

( f i : X → R ) i ∈ N {\displaystyle (f_{i}\colon X\rightarrow \mathbb {R} )_{i\in \mathbb {N} }}

eine Folge reellwertiger, stetiger Funktionen mit

f i ( x ) ≤ f i + 1 ( x ) {\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)}

für alle natürlichen Zahlen i {\displaystyle i} und alle x ∈ X {\displaystyle x\in X} und existiert eine stetige Grenzfunktion f {\displaystyle f} , das heißt

lim i → ∞ f i ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)}

für alle x ∈ X {\displaystyle x\in X} , so konvergiert die Folge bereits gleichmäßig gegen f {\displaystyle f} , das heißt

lim i → ∞ sup x ∈ X | f i ( x ) − f ( x ) | = 0. {\displaystyle \lim _{i\to \infty }\sup _{x\in X}|f_{i}(x)-f(x)|=0.}

Beweis

Für ein vorgegebenes ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} setze

E i := { x ∈ X ∣ f ( x ) − f i ( x ) < ε } {\displaystyle E_{i}:=\{x\in X\mid f(x)-f_{i}(x)<\varepsilon \}} .

Da die Folge der f i {\displaystyle f_{i}} punktweise gegen f {\displaystyle f} konvergiert, bilden die E i {\displaystyle E_{i}} eine Überdeckung von X {\displaystyle X} , die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist. Die Überdeckung ( E i ) i {\displaystyle (E_{i})_{i}} ist monoton wachsend, da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat. Weil X {\displaystyle X} kompakt ist, wird X {\displaystyle X} bereits von endlich vielen der E i {\displaystyle E_{i}} überdeckt. Ist N {\displaystyle N} der größte Index dieser endlich vielen Überdeckungsmengen, so gilt E i = X {\displaystyle E_{i}=X} für alle größeren Indizes i {\displaystyle i} . Also ist

| f ( x ) − f i ( x ) | = f ( x ) − f i ( x ) < ε {\displaystyle |f(x)-f_{i}(x)|=f(x)-f_{i}(x)<\varepsilon \,} für alle x ∈ X {\displaystyle x\in X} und i > N {\displaystyle i>N\,} ,

woraus die Behauptung folgt.

Bemerkung

Der Satz von Dini gilt auch für monoton fallende Folgen, wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Übergang zur Folge ( − f i ) i ∈ N {\displaystyle (-f_{i})_{i\in \mathbb {N} }} sieht.

Auf die Voraussetzung, dass die Grenzfunktion wieder stetig ist, kann nicht verzichtet werden, wie man an dem Beispiel f i ( x ) = 1 − x i {\displaystyle f_{i}(x)=1-x^{i}} auf X = [ 0 , 1 ] {\displaystyle X=[0,1]} einfach sehen kann.

Literatur

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-43586-7.