Potenz-assoziative Algebra

Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.

Definitionen

Für ein Magma ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(M,\circ )}$ und jedes ${\displaystyle a\in M}$ definiere man

${\displaystyle a^{1}:=a}$ sowie ${\displaystyle a^{k+1}:=a\circ a^{k}}$ für jedes ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

Die Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ eines Magmas ${\displaystyle (M,\circ )}$ heißt potenz-assoziativ für ein Element ${\displaystyle a\in M}$, wenn für alle positiven natürlichen Zahlen ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} ^{*}}$ gilt

${\displaystyle a^{i+j}=a^{i}\circ a^{j}}$

Ein Magma ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(M,\circ )}$ nennt man potenz-assoziatives Magma, wenn dessen Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ potenz-assoziativ ist für jedes ${\displaystyle a\in M}$.

Die Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ heißt potenz-assoziativ (potenz-assoziative Algebra), wenn ihre Multiplikation ${\displaystyle \cdot }$ potenz-assoziativ ist, also ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\cdot )}$ ein potenz-assoziatives Magma ist.

Beispiele

Potenz-assoziative Magmen

• Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma.
• Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität: ${\displaystyle a^{i+j}=a=a\circ a=a^{i}\circ a^{j}}$.
  Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz-assoziatives Magma
• Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ.
  Beweis (per vollständiger Induktion):
  • Induktionsanfang ${\displaystyle i=1}$: ${\displaystyle a^{1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a^{j+1}=a^{1+j}}$
  • Induktionsanfang ${\displaystyle i=2}$: ${\displaystyle a^{2}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a)\circ a^{j}{\overset {(2)}{=}}a\circ (a\circ a^{j}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{1+j}{\overset {(1)}{=}}a^{2+j}}$
  • Induktionsschritt ${\displaystyle i\longrightarrow i+1}$ für ${\displaystyle i\geq 2}$:
    ${\displaystyle a^{i+1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ (a\circ a^{i-1}))\circ a^{j}}$
    ${\displaystyle {\overset {(3)}{=}}(a\circ (a^{i-1}\circ a))\circ a^{j}}$
    ${\displaystyle {\overset {(4)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ (a\circ a^{j}))}$
    ${\displaystyle {\overset {(1)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ a^{j+1})}$
    ${\displaystyle {\overset {(5)}{=}}a\circ a^{(i-1)+(j+1)}=a\circ a^{i+j}{\overset {(1)}{=}}a^{(i+j)+1}=a^{(i+1)+j}}$

(1) Definition ${\displaystyle a^{n}}$

(2) (Links-)Alternativität von ${\displaystyle \circ }$

(3) Flexibilität (und der daraus folgenden ${\displaystyle i}$-Potenz-Assoziativität, siehe unten) von ${\displaystyle \circ }$

(4) Moufang-Identität für ${\displaystyle \circ }$

(5) Induktionsvoraussetzung

• Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten!
• Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt ${\displaystyle a^{3+2}=a^{3}a^{2}}$ bereist aus der Alternativität:
  ${\displaystyle a^{3+2}=a^{5}{\overset {(1)}{=}}a(a(a(aa))){\overset {(2)}{=}}a((aa)(aa)){\overset {(3)}{=}}(a(aa))(aa){\overset {(1)}{=}}a^{3}a^{2}}$
  1: Definition ${\displaystyle a^{n}}$
  2: Linksalternativität
  3: Rechtsalternativität

Potenz-assoziative Algebren

• Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.

• Alle alternativen Algebren sind potenz-assoziativ.
  • In einer Algebra folgt aus der Alternativität die Flexibilität der Multiplikation, und außerdem die Erfüllung der Moufang-Identitäten (siehe auch Eigenschaften von Alternativkörpern)!

• Alle ${\displaystyle K}$-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, in denen es zu jedem ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ein ${\displaystyle c_{a}\in K}$ gibt mit ${\displaystyle a\cdot a=c_{a}\cdot a}$, sind potenz-assoziativ.
  • Hierzu gehört beispielsweise ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da ${\displaystyle a\times a=0}$ für alle ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{3}}$.
• Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.

Weitere Abschwächungen der Potenz-Assoziativität

Die Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ eines Magmas ${\displaystyle (M,\circ )}$ heißt ${\displaystyle i}$-potenz-assoziativ für ein Element ${\displaystyle a\in M}$, wenn für die positive natürliche Zahl ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ^{*}}$ gilt:

${\displaystyle a^{i}\circ a=a\circ a^{i}}$

Ein Magma, dessen Verknüpfung ${\displaystyle i}$-potenz-assoziativ ist, kann man somit auch als ein ${\displaystyle i}$-potenz-assoziatives Magma bezeichnen.

Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein ${\displaystyle i}$-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt:

${\displaystyle a\circ a^{i}{\overset {(1)}{=}}a^{i+1}{\overset {(2)}{=}}a^{i}\circ a^{1}{\overset {(1)}{=}}a^{i}\circ a}$

1: Definition ${\displaystyle a^{n}}$

2: Potenz-Assoziativität von ${\displaystyle \circ }$

Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein ${\displaystyle i}$-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt (per vollständiger Induktion):

• Induktionsanfang ${\displaystyle i=1}$ (nur mit Definition ${\displaystyle a^{n}}$): ${\displaystyle a^{1}\circ a=a\circ a=a\circ a^{1}}$
• Induktionsschritt ${\displaystyle i\longrightarrow i+1}$: ${\displaystyle a^{i+1}\circ a{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a{\overset {(2)}{=}}a\circ (a^{i}\circ a){\overset {(3)}{=}}a\circ (a\circ a^{i}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{i+1}}$

1: Definition ${\displaystyle a^{n}}$

2: Flexibilität von ${\displaystyle \circ }$

3: Induktionsvoraussetzung

Die Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ eines Magmas ${\displaystyle (M,\circ )}$ heißt idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent) für ein Element ${\displaystyle a\in M}$, wenn gilt

${\displaystyle a\circ (a\circ a)=(a\circ a)\circ a}$.

Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen.

Ein ${\displaystyle i}$-potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma (mit ${\displaystyle i=2}$).

Beispiele

1. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder ${\displaystyle i}$-potenz-assoziativ (und somit auch nicht potenz-assoziativ) noch flexibel noch alternativ:

${\displaystyle \circ }$	0	1	2
0	2	1	2
1	2	2	0
2	2	0	0

• nicht linksalternativ wegen ${\displaystyle 0\circ (0\circ 1)=0\circ 1=1\neq 0=2\circ 1=(0\circ 0)\circ 1}$
• nicht rechtsalternativ wegen ${\displaystyle 0\circ (2\circ 2)=0\circ 0=2\neq 0=2\circ 2=(0\circ 2)\circ 2}$
• nicht flexibel wegen ${\displaystyle 1\circ (0\circ 1)=2\neq 0=(1\circ 0)\circ 1}$
• nicht potenz-assoziativ wegen ${\displaystyle 0^{2+2}=0^{4}=0\circ (0\circ (0\circ 0)=2\neq 0=(0\circ 0)\circ (0\circ 0)=0^{2}\circ 0^{2}}$
• nicht ${\displaystyle i}$-potenz-assoziativ für ${\displaystyle i\geq 3}$ wegen ${\displaystyle 1\circ 1^{3}=1\circ (1\circ (1\circ 1))=2\neq 1=(1\circ (1\circ 1))\circ 1=1^{3}\circ 1}$
• idemassoziativ wegen
  • ${\displaystyle 0\circ (0\circ 0)=2=(0\circ 0)\circ 0}$
  • ${\displaystyle 1\circ (1\circ 1)=0=(1\circ 1)\circ 1}$
  • ${\displaystyle 2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2}$

2. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch ${\displaystyle i}$-potenz-assoziativ und idemassoziativ), aber weder flexibel noch alternativ:

${\displaystyle \circ }$	0	1	2
0	0	0	0
1	0	0	2
2	0	0	2

• nicht alternativ wegen ${\displaystyle 1\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(1\circ 1)\circ 2}$
• nicht flexibel wegen ${\displaystyle 2\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(2\circ 1)\circ 2}$
• potenz-assoziativ wegen
  • ${\displaystyle 0^{i+j}=0=0\circ 0=0^{i}\circ 0^{j}}$
  • ${\displaystyle 1^{i+j}=0=0\circ 0=1^{i}\circ 1^{j}}$
  • ${\displaystyle 2^{i+j}=2=2\circ 2=2^{i}\circ 2^{j}}$

3. Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder ${\displaystyle i}$-potenz-assoziativ noch potenz-assoziativ), denn es gilt zum Beispiel: ${\displaystyle \left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683\neq 7625597484987=3^{27}=3^{\left(3^{3}\right)}}$.

Literatur

• Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
• R. D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Benediction Classics, 2010, ISBN 1-84902-590-8.