Mittelwertsatz der Integralrechnung

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung (auch Cauchyscher Mittelwertsatz genannt) ist ein wichtiger Satz der Analysis. Er erlaubt es, Integrale abzuschätzen, ohne den tatsächlichen Wert auszurechnen, und liefert einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Analysis.

Aussage

Hier wird das Riemann-Integral betrachtet. Die Aussage lautet:

Sei ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion, sowie ${\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ integrierbar und entweder ${\displaystyle g\geq 0}$ oder ${\displaystyle g\leq 0}$ (d. h. ohne Vorzeichenwechsel). Dann existiert ein ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$, so dass

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(\xi )\int \limits _{a}^{b}{g(x)dx}}$

gilt. Manche Autoren bezeichnen die obige Aussage als erweiterten Mittelwertsatz und die Aussage für ${\displaystyle g=1}$ als Mittelwertsatz oder ersten Mittelwertsatz. Für ${\displaystyle g=1}$ bekommt man den wichtigen Spezialfall:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)dx}=f(\xi )(b-a)}$,

der sich geometrisch leicht deuten lässt: Die Fläche unter der Kurve zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist gleich dem Inhalt eines Rechtecks mittlerer Höhe.

Beweis

Sei ${\displaystyle g(x)\geq 0}$ auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$. Der andere Fall kann durch Übergang zu ${\displaystyle -g}$ auf diesen zurückgeführt werden.

Wegen Stetigkeit nimmt ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle [a,b]}$ nach dem Satz vom Minimum und Maximum ein Minimum ${\displaystyle k}$ und ein Maximum ${\displaystyle K}$ an. Mit ${\displaystyle k\leq f(x)\leq K}$ und ${\displaystyle g(x)\geq 0}$ ist

${\displaystyle kg(x)\leq f(x)g(x)\leq Kg(x)}$;

mit Monotonie und Linearität des Riemann-Integrals weiter

${\displaystyle k\cdot \int \limits _{a}^{b}{g(x)\,{\rm {d}}x}\leq \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}\leq K\cdot \int \limits _{a}^{b}{g(x)\,{\rm {d}}x}}$.

Mit ${\displaystyle I:=\int \limits _{a}^{b}{g(x)\,{\rm {d}}x}}$ gilt somit

${\displaystyle k\cdot I\leq \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}\leq K\cdot I}$ (1).

Es gilt nun folgende Fälle zu unterscheiden:

Fall I: ${\displaystyle I\neq 0}$. - Dann hat die Behauptung die äquivalente Form

${\displaystyle f(\xi )={\frac {1}{I}}\cdot \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}}$;

die rechte Seite dieser Gleichung ist eine Zahl, und zu zeigen ist, dass ${\displaystyle f}$ für ein ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ diese Zahl als Wert annimmt (2).

Wegen ${\displaystyle g(x)\geq 0}$ ist ${\displaystyle I>0}$, und (1) hat nach Division durch ${\displaystyle I}$ die Form

${\displaystyle k\leq {\frac {1}{I}}\cdot \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}\leq K}$;

hieraus folgt (2) mit dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, q. e. d.

Fall II: ${\displaystyle I=0}$. - Dann folgt aus (1):

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)\,{\rm {d}}x}=0}$,

und die Behauptung gewinnt die für jedes ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$ gültige Form

${\displaystyle f(\xi )\cdot 0=0}$.

Bedingung an g

Die Bedingung, dass ${\displaystyle g\geq 0}$ oder ${\displaystyle -g\geq 0}$ gilt, ist wichtig. In der Tat gilt der Mittelwertsatz für Funktionen ${\displaystyle g}$ ohne diese Bedingung im Allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt: Für ${\displaystyle [a,b]=[-1,1]}$ und ${\displaystyle f(x)=g(x)=x}$ ist

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x={\tfrac {2}{3}}}$,

jedoch

${\displaystyle f(\xi )\cdot \int \limits _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=0}$ für alle ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$.

Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung

Seien ${\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ Funktionen, ${\displaystyle f}$ monoton und ${\displaystyle g}$ stetig. Dann existiert ein ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$, so dass

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(a)\int \limits _{a}^{\xi }{g(x)dx}+f(b)\int \limits _{\xi }^{b}{g(x)dx}}$.

Im Fall, dass ${\displaystyle f}$ sogar stetig differenzierbar ist, kann man ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$ wählen. Der Beweis erfordert partielle Integration, den Fundamentalsatz der Analysis und den obigen Satz.

Siehe auch

• Integralrechnung #Mittelwert einer Funktion
• Mittelwert #Mittelwert einer Funktion
• Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Weblinks

Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6.