Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881–1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.^[1]

Ersetzt man dort die komplexe Funktion ${\displaystyle \psi }$ durch ihren Betrag ${\displaystyle \rho }$ und ihre Phase ${\displaystyle S}$ gemäß ${\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {i}{\hbar }}S}}$, so erhält man die Madelunggleichungen:^[1]

1. ${\displaystyle \partial _{t}\rho +{\frac {1}{m}}\nabla (\rho \nabla S)=0}$
   
2. ${\displaystyle \partial _{t}S+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+V(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=0,}$

wobei ${\displaystyle V}$ das Potential aus der Schrödingergleichung ist.

Die erste dieser beiden Gleichungen hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

${\displaystyle S}$ wird als Wirkung interpretiert, ${\displaystyle \nabla S}$ als Impuls. Die Madelunggleichungen lassen sich als Quanten-Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik) deuten wie folgt:^[2][3]

1. ${\displaystyle \partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}{\vec {v}})=0,}$
2. ${\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=\partial _{t}{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}=-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V),}$

wobei

• ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)=\mathbf {\nabla } S/m}$ (Strömungsgeschwindigkeit) bzw. ${\displaystyle \nabla S=m\cdot {\vec {v}}}$ (Impuls)
  ​
• ${\displaystyle \rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}}$ (Massedichte) mit Normierungsbedingung ${\displaystyle \int \rho ({\vec {x}},t)d^{3}x=1}$ bzw. ${\displaystyle \int \rho _{m}({\vec {x}},t)d^{3}x=m}$ zu jeder Zeit ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}}$ (Bohmsches Quantenpotential).

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.

• De-Broglie-Bohm-Theorie

• R. Tsekov: Dissipative Time Dependent Density Functional Theory. In: International Journal of Theoretical Physics. 48. Jahrgang, 2009, S. 2660​–2664, doi:10.1007/s10773-009-0054-6, arxiv:0903.3644, bibcode:2009IJTP...48.2660T. 

1. ↑ ^{a b} Erwin Madelung: Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger. In: Naturwissenschaften. 14. Jahrgang, Nr. 45, 1926, S. 1004​–1004, doi:10.1007/BF01504657, bibcode:1926NW.....14.1004M. 
2. ↑ Erwin Madelung: Quantentheorie in hydrodynamischer Form. In: Z. Phys. 40. Jahrgang, Nr. 3–4, 1927, S. 322–326, doi:10.1007/BF01400372, bibcode:1927ZPhy...40..322M. 
3. ↑ I. Bialynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kaminski: Theory of Quanta. Oxford University Press, 1992, ISBN 0-19-507157-3. .