Möbius-Inversion

Die Möbius-Inversion oder auch Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es, eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren.

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}

und ihre summatorische Funktion

F\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} ,\quad F(n)=\sum _{d\mid n}f(d)

Dann gilt für jede natürliche Zahl $n$

f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)F(d)

wobei $\mu$ die Möbiusfunktion auf $\mathbb {N}$ mit Werten in $\{-1,0,1\}$ bezeichnet.

Verallgemeinerung

Beim Nachweis der Umkehrformel wird vom Zielbereich $\mathbb {C}$ der zahlentheoretischen Funktionen lediglich benutzt, dass $(\mathbb {C} ,+,0)$ eine abelsche Gruppe ist. Für multiplikativ notierte abelsche Gruppen $(G,\cdot ,1)$ erhält die Möbiussche Umkehrformel also die folgende Form:^[1]

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

f\colon \mathbb {N} \to G

und ihre „summatorische“ Funktion

F\colon \mathbb {N} \to G,\quad F(n)=\prod _{d\mid n}f(d).

Dann gilt für jede natürliche Zahl $n$

f(n)=\prod _{d\mid n}F\left({\frac {n}{d}}\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\mid n}F(d)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}=\prod _{de=n}F(d)^{\mu (e)},

wobei $\mu$ die Möbiusfunktion auf $\mathbb {N}$ mit Werten in $\{-1,0,1\}$ bezeichnet.

Diese Form liefert mit $(G,\cdot ,1)=(\mathbb {Q} (X)^{\times },\cdot ,1)$ für das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]$ eine explizite Definition, allerdings im (gebrochen-)rationalen Funktionenkörper $\mathbb {Q} (X)$ , also im Quotientenkörper der Polynomalgebra $\mathbb {Q} [X]$ . Dass $\Phi _{n}(X)\in \mathbb {Q} [X]$ und sogar $\Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]$ , erfordert weitere, gleichwohl einfache Argumente.^[2]