Gegenbauer-Polynom

Gegenbauer-Polynome mit α=1
Gegenbauer-Polynome mit α=2

Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} mit der Gewichtungsfunktion ( 1 − x 2 ) α − 1 / 2 {\displaystyle (1-x^{2})^{\alpha -1/2}} , mit α > − 1 / 2 {\displaystyle \alpha >-1/2} . Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der Gegenbauer-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form

C n ( α ) ( z ) = 1 Γ ( α ) ∑ m = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) m Γ ( α + n − m ) m ! ( n − 2 m ) ! ( 2 z ) n − 2 m , {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{m}{\frac {\Gamma (\alpha +n-m)}{m!(n-2m)!}}(2z)^{n-2m},}

für α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} , andernfalls

C n ( 0 ) ( z ) = ∑ m = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) m ( n − m − 1 ) ! m ! ( n − 2 m ) ! ( 2 z ) n − 2 m , {\displaystyle C_{n}^{(0)}(z)=\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{m}{\frac {(n-m-1)!}{m!(n-2m)!}}(2z)^{n-2m},}

Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} darstellen:

C n ( α ) ( z ) = ( 2 α + n − 1 ) ! ( 2 α − 1 ) ! n ! 2 F 1 ( − n , 2 α + n ; α + 1 2 ; 1 − z 2 ) {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha +n-1)!}{(2\alpha -1)!\,n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right)}

Der Wert für z = 1 {\displaystyle z=1} ist

C n ( α ) ( 1 ) = ( n + 2 α − 1 n ) . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={n+2\alpha -1 \choose n}.}

Die ersten Polynome haben die Gestalt:

C 0 ( α ) ( z ) = 1 {\displaystyle C_{0}^{(\alpha )}(z)=1}
C 1 ( α ) ( z ) = 2 α z {\displaystyle C_{1}^{(\alpha )}(z)=2\alpha z}
C 2 ( α ) ( z ) = − α + 2 α ( 1 + α ) z 2 {\displaystyle C_{2}^{(\alpha )}(z)=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}}
C 3 ( α ) ( z ) = − 2 α ( 1 + α ) z + 4 / 3 α ( 1 + α ) ( 2 + α ) z 3 {\displaystyle C_{3}^{(\alpha )}(z)=-2\alpha (1+\alpha )z+4/3\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}}

Referenzen

  • Eric W. Weisstein: Gegenbauer Polynomial. In: MathWorld (englisch).
  • Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4, S. 774.