Flachheit (Algebra)

Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs „freier Modul“.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

Ein Modul ${\displaystyle M}$ über einem Ring ${\displaystyle A}$ heißt flach, wenn der Funktor

${\displaystyle N\mapsto M\otimes _{A}N}$

exakt ist. (Siehe Tensorprodukt von Moduln.)

Äquivalente Charakterisierungen sind:^[1]

• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}(N,M)=0}$ für alle ${\displaystyle A}$-Moduln ${\displaystyle N}$. (Siehe Tor (Mathematik).)
• Für jedes Ideal ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle I\otimes _{A}M\to IM}$ injektiv.
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}(A/I,M)=0}$ für alle Ideale ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle A}$.

Eigenschaften

• Alle projektiven und damit alle freien Moduln sind flach.
• Umgekehrt ist jeder endlich präsentierte flache Modul projektiv.^{[2][Anm 1]}
• Flache Moduln sind torsionsfrei.^[3]
• Über Dedekindringen (insbesondere also über Hauptidealringen) stimmen die Begriffe „flach“ und „torsionsfrei“ sogar überein.^[4]
• Es sei

${\displaystyle 0\to N'\to N\to N''\to 0}$

eine exakte Sequenz. Dann ist die Sequenz

${\displaystyle 0\to M\otimes N'\to M\otimes N\to M\otimes N''\to 0}$

exakt, falls ${\displaystyle M}$ oder ${\displaystyle N''}$ flach ist.^[5] Dies entspricht der Symmetrie des Funktors Tor.

• Sind ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ flache ${\displaystyle R}$-Moduln, so auch ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$.
• Im Ring der dualen Zahlen ist flach äquivalent zu frei.
• Sei ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$. Dann ist ${\displaystyle M}$ genau dann flach, wenn ${\displaystyle M_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ flach ist.

Beispiele

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist ein flacher, aber nicht projektiver ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul.
• Für jeden Ring ${\displaystyle R}$ ist der ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle R}$ flach.
• Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring mit Einselement und ${\displaystyle S\subseteq R}$ eine multiplikativ abgeschlossene Menge, dann ist der ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle S^{-1}R}$ flach.

Damit ist insbesondere ${\displaystyle k(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ein flacher ${\displaystyle k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$-Modul

• ${\displaystyle R[X]}$ ist eine flache ${\displaystyle R}$-Algebra.

Anmerkungen

1. ↑ Gemäß dem Artikel über Daniel Lazare folgt diese Tatsache aus einem Kriterium für Flachheit, dass Daniel Lazard in seiner Dissertation Autour de la platitude gegeben hat: Ein Modul ist genau dann flach, wenn er direkter Limes endlich erzeugter freier Moduln ist. Siehe: Lazard Autour de la platitude, Bulletin de la Société Mathématique de France, Band 97, 1969, S. 81–128, numdam (Memento vom 6. August 2014 im Internet Archive). Lazard veröffentlichte dieses Kriterium bereits fünf Jahre zuvor in seinem Artikel Sur les modules plats, C. R. Acad. Sci. Paris 258, 6313–6316 (1964)

Literatur

• David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94269-6.
• Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 0-521-36764-6.
• Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006, ISBN 0-19-920249-4.

Einzelnachweise

1. ↑ Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, Theorem 7.7 und Theorem 7.8, S. 51f.
2. ↑ David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995, Corollary 6.6, S. 166; Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, Corollary 7.12, S. 53
3. ↑ David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995, Corollary 6.3, S. 164
4. ↑ Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006, Corollary 1.2.14, S. 11
5. ↑ Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006, Proposition 2.6, S. 9