Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen

${\displaystyle (x+y)^{n},\quad n\in \mathbb {N} }$

als Polynom ${\displaystyle n}$-ten Grades in den Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ auszudrücken. Die Bezeichnung rührt vom Ausdruck Binom, welches hier ${\displaystyle x+y}$ ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\quad (1)}$

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ (mit der Konvention ${\displaystyle 0^{0}=1}$).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{1\cdot 2\dotsm k}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot {k!}}}}$,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit ${\displaystyle n!=1\cdot 2\dotsm n}$ ist hierbei die Fakultät von ${\displaystyle n}$ bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}}$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ an das Ringelement ${\displaystyle x^{n-k}y^{k}}$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall ${\displaystyle n=2}$ heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen

• Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h. ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$ gilt.
• Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

${\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+\left[\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right]+y^{n}}$.

• Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.

Beweis

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden.^[1] Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis.^[2] Für jedes konkrete ${\displaystyle n}$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiele

${\displaystyle (x+y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}y+{\binom {3}{2}}\,xy^{2}+{\binom {3}{3}}\,y^{3}=x^{3}+3\,x^{2}y+3\,xy^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle (x-y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}(-y)+{\binom {3}{2}}\,x(-y)^{2}+{\binom {3}{3}}\,(-y)^{3}=x^{3}-3\,x^{2}y+3\,xy^{2}-y^{3}}$

${\displaystyle {\big (}a+ib{\big )}^{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}i^{k}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}}$, wobei ${\displaystyle i}$ die imaginäre Einheit ist.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten ${\displaystyle \alpha }$ mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn ${\displaystyle \alpha }$ eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lässt sich mithilfe der verallgemeinerten Binomialkoeffizienten ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$ kompakt schreiben als

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=x^{\alpha }\left(1+{\tfrac {y}{x}}\right)^{\alpha }=x^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}.\quad (2)}$

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle x>0}$ und ${\displaystyle \left|{\tfrac {y}{x}}\right|<1}$.

Im Spezialfall ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} }$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Trivia

Gelegentlich wird als wissenschaftlicher Witz die Entdeckung oder Erfindung des binomischen Lehrsatzes einem Herrn Binomi zugeschrieben.^[3]

Literatur

• M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6, S. 26
• Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 52-55
• Thomas Koshy: Catalan Numbers with Applications. Oxford University Press, 2009, ISBN 978-0-19-533454-8, S. 28-36
• Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-05694-3, S. 29-31

Weblinks

• Binomischer Lehrsatz (Eigenschaften von Binomiakoeffizoenten und Beweis des Satzes per Induktion)
• Binomischer Lehrsatz (Video, kombinatorischer Beweis)
• Eric W. Weisstein: Binomial Theorem. In: MathWorld (englisch).
• The Binomial Theorem bei Khan Academy (Video, englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-05694-3, S. 29-31
2. ↑ Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 52-55
3. ↑ zum Beispiel in: Otto Forster und Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, S. 456.