Apéry-Konstante

Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dotsb }$

definiert ist. Das ist der Wert ${\displaystyle \zeta (3)}$ der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3.

Ein Näherungswert ist

${\displaystyle \zeta (3)=1{,}20205{\text{ }}69031{\text{ }}59594{\text{ }}28539{\text{ }}97381{\text{ }}61511{\text{ }}44999{\text{ }}07649{\text{ }}86292{\text{ }}34049{\text{ }}\dotso }$ (Folge A002117 in OEIS).

Derzeit (Stand August 2020) sind 1.200.000.000.100 dezimale Nachkommastellen bekannt, ihre Berechnung wurde von Seungmin Kim am 26. Juli 2020 vollendet.^[1]

Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet.^[2] Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist.^[3] Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist^[4] oder ob ${\displaystyle \zeta (3)/\pi ^{3}}$ irrational ist^[5] (mit Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen ${\displaystyle \zeta (2n+1),\,n=1,2,3,\dotsc }$ irrational sein,^[6] dabei mindestens eine von ${\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\zeta (9)}$ und ${\displaystyle \zeta (11)}$.^[7]

Für das Irrationalitätsmaß ${\displaystyle \operatorname {r} (\zeta )=\inf R}$, wobei ${\displaystyle R}$ die Menge der positiven reellen Zahlen ${\displaystyle \rho }$ ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle \textstyle 0<{\mathopen {|}}\zeta -{\frac {p}{q}}{\mathclose {|}}<{\frac {1}{q^{\rho }}}}$ existieren, sind die Schranken ${\displaystyle 2\leq r(\zeta (3))<5{,}513891}$ bekannt,^[8] insbesondere ist ${\displaystyle \zeta (3)}$ nicht liouvillesch.

Der Kehrwert ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (3)}}=0{,}83190\,73725\,80707\,46868\dotso }$ (Folge A088453 in OEIS) ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass ${\displaystyle n}$ ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (nk)}}}$ keine ${\displaystyle k}$-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.^[9]

Apéry verwendete die Formel

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}}$

mit den harmonischen Zahlen ${\displaystyle H_{n}}$. Zahlreiche verwandte Formeln wie

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{ij(i+j)}}}$

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante.^[10]

Unter Anwendung der dirichletschen λ-Funktion und der dirichletschen η-Funktion erhält man aus ${\displaystyle \zeta (z)/2^{z}=\lambda (z)/(2^{z}-1)=\eta (z)/(2^{z}-2)}$ die Darstellung

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}}}.}$

Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):^[11][12]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {A(n)\cdot (2n+1)!^{3}\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{3}}{(3n+2)!\cdot (4n+3)!^{3}}}}$

mit ${\displaystyle A(n)=126392n^{5}+412708n^{4}+531578n^{3}+336367n^{2}+104000n+12463}$.

Nach Matyáš Lerch (1900):^[13]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}}$.

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:^[14]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{3}}{28}}+{\frac {16}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}+1)}}-{\frac {2}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=28\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}-1)}}-37\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}+7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{4\pi n}-1)}}}$.

Bei Max Koecher findet man folgende Reihendarstellung, durch die man beim Abbrechen an der Stelle  ${\displaystyle n=7}$  neun korrekte Dezimalstellen erhält:^{[15][A 1]}

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {9}{8}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4}{n^{3}\left(9n^{8}+18n^{6}+21n^{4}+4\right)}}}$.

Eine Verbindung zu den Primzahlen ist

${\displaystyle \zeta (3)=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-p^{-3}}}}$

als Spezialfall des Euler-Produkts (Euler 1737).^[16]

Für die Apéry-Konstante gibt auch einige Integraldarstellungen.

Die Werte der folgenden Integrale gehen direkt aus den betroffenen trilogarithmischen Stammfunktionen hervor:

${\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}{1-xyz}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\operatorname {artanh} (x)^{2}\mathrm {d} x}$

Diese drei Integrale kommen durch die sogenannten Abel-Plana-Summenformeln zustande:

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (-x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}}}\operatorname {sech} {\bigl (}{\frac {1}{2}}\pi x{\bigr )}^{2}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}+{\frac {4}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3x-x^{3}}{(x^{2}+1)^{3}}}\operatorname {csch} (\pi x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \zeta (3)=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {3x-x^{3}}{(x^{2}+1)^{3}}}\exp(-\pi x)\operatorname {csch} (\pi x)\,\mathrm {d} x}$

Folgende weiteren Integrale weisen ebenso Stammfunktionen auf, welche nicht als elementare Kombination der Polylogarithmen dargestellt werden können:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\pi ^{3}\int \limits _{0}^{1}x\left(x-{\frac {1}{2}}\right)(x-1)\cot(\pi x)\mathrm {d} x}$^[17]

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi ^{2}}{14\,x^{2}}}\operatorname {tanh} (x)^{2}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi ^{2}}{7x}}\tanh(x)\operatorname {sech} (x)^{2}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi ^{2}x}{7(x^{2}+1)^{2}\operatorname {arsinh} (x)}}\,\mathrm {d} x}$

Die Apéry-Konstante kann auch mit der Dirichletschen Lambdafunktion und Etafunktion dargestellt werden:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\,\lambda (3)={\frac {4}{3}}\,\eta (3)}$

Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf, es gilt nämlich:

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\psi _{2}(1)}$

• Frits Beukers: A note on the irrationality of ${\displaystyle \zeta (2)}$ and ${\displaystyle \zeta (3)}$. Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch).
• Steven R. Finch: Apéry’s constant. Kapitel 1.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch).
• Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel, Boston 1987, ISBN 3-7643-1824-4 (Kapitel II!). 
• Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report. The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch: Alf’s reprints. Paper 45, PDF; 205 kB).

• Eric W. Weisstein: Apéry’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A013631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ζ(3))
• Folge A053980 in OEIS (Engel-Entwicklung von ζ(3))

1. ↑ Records set by y-cruncher. Abgerufen am 12. August 2019. 
2. ↑ Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali. 13. Oktober 1735, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21).
3. ↑ Roger Apéry: Irrationalité de ${\displaystyle \zeta (2)}$ et ${\displaystyle \zeta (3)}$. Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch).
4. ↑ David H. Bailey, Richard E. Crandall: Random Generators and Normal Numbers. (Memento vom 13. Oktober 2003 im Internet Archive). (PDF; 399 kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch).
5. ↑ Finch: Apéry’s constant. 2003, S. 41 (englisch).
6. ↑ Tanguy Rivoal: La Fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arxiv:math/0008051v1).
7. ↑ W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational. Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch).
8. ↑ Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3). Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch).
9. ↑ M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM. MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch), ITEM 53 (Salamin).
10. ↑ Walther Janous: Around Apéry’s constant. Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch).
11. ↑ Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: Hypergeometric series acceleration via the WZ method. (Memento vom 30. April 2011 im Internet Archive). The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch). arxiv:math/9804121v1
12. ↑ The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Im Project Gutenberg (englisch).
13. ↑ Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung).
14. ↑ Simon Plouffe: Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2). April 2006 (englisch).
15. ↑ Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser-Verlag, Basel / Boston 1987, S. 52.
16. ↑ Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas. 25. April 1737, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174 f.).
17. ↑ Abramowitz-Stegun: Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers. S. 807, Formel 23.2.17.

1. ↑ Koecher nennt diese Reihendarstellung eine kuriose Formel.