V lineární algebře se čtvercová matice nazývá Vandermondova matice, pokud má v každém řádku po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti počínaje jedničkou.
Matice je pojmenovaná po francouzském matematiku Alexandru-Théophilovi Vandermondovi (1735-1796).
Vandermondova matice je regulární, právě když má různé řádky, a tedy i různé kvocienty odpovídajících posloupností.
Definice
Vandermondova matice řádu
určená uspořádanou
- ticí reálných čísel
je:
![{\displaystyle {\boldsymbol {V}}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}&x_{n-1}^{2}&\dots &x_{n-1}^{n-1}\\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a336d6112a31b3866babf21008d2fb18297e430)
s prvky
Vandermondovu matici lze obecněji definovat nad libovolným tělesem.
Vlastnosti
Vandermondův determinant
Determinant Vandermondovy matice se nazývá Vandermondův determinant a lze jej vyjádřit výrazem:
![{\displaystyle \det {\boldsymbol {V}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e487c0fbfa9d6f98ee76705d6ee303bed8df6ac)
Důkaz
Důkaz využívá skutečnosti, že řádková ani sloupcová operace spočívající v přičtení skalárního násobku jiného řádku, resp. sloupce nemění determinant.
V prvním kroku je od každého sloupce (kromě prvního) odečten
-násobek předchozího sloupce. Odečítání jsou provedena tak, že se začne od posledních sloupců, aby se odečetl sloupec, který ještě nebyl změněn). Výsledná matice je:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x_{1}-x_{n}&x_{1}(x_{1}-x_{n})&\dots &x_{1}^{n-2}(x_{1}-x_{n})\\1&x_{2}-x_{n}&x_{2}(x_{2}-x_{n})&\dots &x_{2}^{n-2}(x_{2}-x_{n})\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}-x_{n}&x_{n-1}(x_{n-1}-x_{n})&\dots &x_{n-1}^{n-2}(x_{n-1}-x_{n})\\1&0&0&\dots &0\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2810fab837d8390e6d17a83a63c7364460f487)
Laplaceův rozvoj podél posledního řádku sníží řád matice o 1. Následně lze z ostatních řádků vytknout členy
. Současné provedení těchto operací nezmění znaménko:
![{\displaystyle \det({\boldsymbol {V}}(x_{1},\dots ,x_{n}))=(x_{n}-x_{1})(x_{n}-x_{2})\cdots (x_{n}-x_{n-1}){\begin{vmatrix}1&x_{1}&\dots &x_{1}^{n-2}\\1&x_{2}&\dots &x_{2}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n-1}&\dots &x_{n-1}^{n-2}\\\end{vmatrix}}=\det({\boldsymbol {V}}(x_{1},\dots ,x_{n-1}))\prod _{1\leq i<n}(x_{n}-x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ee1a68e99e8b49c3edcfe506f5e4362b646ac7)
Použitím matematické indukce na Vandermondovu matici
dává požadované vyjádření
jako součin všech rozdílů
, kde
.
Regularita Vandermondova determinantu
Z předchozí vlastnosti bezprostředně vyplývá, že Vandermondova matice je regulární, právě když hodnoty
jsou navzájem různé.
Numerické záležitosti
Při použití přirozené báze prostoru polynomů je Vandermondova matice velmi špatně podmíněna a související výpočty pomocí standardních metod v čase
jsou relativně pomalé. Pro polynomy se proto v numerických algoritmech volí jiné reprezentace, jak je uvedeno níže.
Aplikace
Proložení polynomu
Vandermondova matice se používá např. v případech, kdy je zadána množina
bodů o souřadnicích
a je třeba určit polynom stupně nejvýše
, který jimi prochází. Koeficienty
hledaného polynomu
![{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{x}x^{2}+\dots +a_{n-1}x^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcf4c92048db1016c14dedbc9023025863a7f24)
jsou řešením následující soustavy lineárních rovnic:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n-1}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\dots &x_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n-1}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n-1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\\vdots \\y_{n}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a24b09fddb84d47eaa0b2d8d162343b39140d8)
Diagonalizace doprovodné matice
Je-li
doprovodná matice monického polynomu
,
vyjádřeného v různých bodech
, potom Vandermondova matice
diagonalizuje
, neboť platí:
.
Diskrétní Fourierova transformace
Provedení diskrétní Fourierovy transformace (i její inverze) lze zapsat jako součin vstupního vektoru délky
s konkrétní komplexní Vandermondovou maticí řádu
. Hodnoty
v definici Vandermondovy matice jsou komplexní odmocniny z 1. Diskrétní Fourierova transformace pak efektivně počítá hodnoty
jako hodnoty polynomu s (komplexními) koeficienty
v bodech
, kde
je zvolená
-tá primitivní odmocnina z 1 a
.
Polynomická regrese
Ve statistice rovnice
znamená, že Vandermondova matice
je regresní maticí polynomické regrese .
Odkazy
Reference
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Vandermonde matrix na anglické Wikipedii a Vandermonde-Matrix na německé Wikipedii.
Literatura
- BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
- BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
- HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
- OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
- MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
Portály: Matematika