Stirlingův vzorec

Stirlingův vzorec (též Stirlingova formule) je nejznámější aproximací faktoriálu pro vysoké hodnoty argumentu. Stejně dobře jde vzorec použít i pro aproximaci gama funkce, která v podstatě představuje zobecnění faktoriálu a to na obor komplexních čísel. Je pojmenován po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi.

Stirlingův vzorec zní:

$n!=\Gamma (n+1)\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

Symbolu „přibližně“ je nutno rozumět tak, že asymptoticky platí:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1$

S rostoucím $n$ tedy Stirlingův vzorec procentuálně čím dál lépe aproximuje faktoriál. Absolutní odchylka faktoriálu a jeho Stirlingovy aproximace ovšem k nule nejde.

Představu o přesnosti tohoto vztahu si lze udělat z procentuální odchylky faktoriálu od Stirlingova vzorce. Tato odchylka je vždy kladná, tedy Stirlingův vzorec je vždy o něco menší než daný faktoriál. Z tabulky je patrné, že již pro $n=1$ je odchylka docela malá. Pro $n=0$ nemá Stirlingův vzorec smysl (není-li speciálně definována nula na nultou).

Odchylka n! od Stirlingova vzorce
n	$\delta _{n!}$
1	7,7863 %
2	4,0497 %
5	1,6509 %
10	0,8295 %
20	0,4 %
40	0,2 %
60	0,1 %

Stirlingův vzorec se používá hlavně při výpočtu limit, kde vystupuje faktoriál. Ve fyzice nalézá velké uplatnění ve statistické fyzice.

Odvození

Nejlépe lze Stirlingův vzorec odvodit z definice funkce gama, platí totiž:

$n!=\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\exp(-x+n\ln x)\,\mathrm {d} x$

Argument v exponenciále nabývá maxima pro $x=n$ , bude proto vhodné vůči tomuto bodu funkci aproximovat pomocí Taylorovy řady. První derivace je zde nulová, jelikož se jedná o maximum, druhá derivace je záporná a rovna $-{\frac {1}{n}}$ .

Dostáváme tedy:

$n!\approx \int _{0}^{\infty }\exp \left(n\ln n-n-{\frac {1}{2n}}(x-n)^{2}\right)\,\mathrm {d} x$

Kde první člen v exponenciále odpovídá funkční hodnotě v maximu, koeficient u kvadrátu je polovinou druhé derivace.

Další úpravou výrazu dostaneme:

$n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{2n}}(x-n)^{2}\right)\,\mathrm {d} x={\sqrt {2n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\int _{-{\sqrt {\frac {n}{2}}}}^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x$

Poslední integrovaná funkce nabývá vysokých hodnot pouze v okolí počátku, a proto můžeme předpokládat, že rozšířením integračního oboru na celá reálná čísla se nedopustíme velké chyby (zajímají nás případy, kdy je $n$ velké). Pak je poslední integrál Gaussův integrál a je roven ${\sqrt {\pi }}$ . Po dosazení tedy konečně vychází:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

Což je právě Stirlingův vzorec. Toto odvození je nutno brát s rezervou, nikde jsme totiž neodhadli chybu výpočtu.

Za hranice klasického Stirlingova vzorce

Stirlingův vzorec je prvním členem asymptotického rozvoje funkce, tedy rozvoje, který dobře vystihuje chování faktoriálu v nekonečnu.

Chceme-li vystihnout chování faktoriálu v nekonečnu ještě lépe, je třeba použít i další členy asymptotického rozvoje. Stirlingova asymptotická řada pro faktoriál má pak tvar:

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).

Tato řada umožňuje přinejmenším odhadnout chybu Stirlingovy formule, okamžitě vidíme, že velikost relativní chyby je pro velká $n$ rovna ${\frac {1}{12n}}$ . Tento odhad relativní chyby velmi dobře odpovídá chybám uvedeným v tabulce.

Poznamenejme, že uvedená asymptotická řada bodově nekonverguje, pro určité pevné $n$ se tedy od určitého členu začne součet řady vzdalovat od hodnoty, kterou má aproximovat. Vyšší členy mají tedy smysl hlavně pro velká $n$ .