Rungeova–Kuttova metoda

Rungeova–Kuttova metoda je metoda pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, kterou kolem roku 1900 vytvořili němečtí matematici Carl Runge a Wilhelm Kutta, případně některá z podobných metod (společně jsou zvané Rungeovy–Kuttovy metody).

Rungeova–Kuttova metoda hledá přibližné řešení rovnice ${\dot {y}}=f(t,y)$ s okrajovou podmínkou $y(t_{0})=y_{0}.$ Přitom $y=y(t)$ je neznámá skalární nebo vektorová funkce času $t$ , kterou chceme aproximovat. Známe funkci $f$ , propojující časovou derivaci ${\dot {y}}$ s hodnotou $y$ a časem $t,$ a známe také počáteční čas $t_{0}$ a odpovídající hodnotu $y$ v tomto čase, která je $y_{0}$ .

K odhadu $y$ klasickou Rungeovou–Kuttovou metodou (též označovanou RK4) je nejprve potřeba zvolit vhodný krok h > 0. Na jeho základě definujeme

{\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {1}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}

pro n = 0, 1, 2, 3, ..., přičemž

{\begin{aligned}k_{1}&=h\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=h\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{1}}{2}}\right),\\k_{3}&=h\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{2}}{2}}\right),\\k_{4}&=h\ f\left(t_{n}+h,y_{n}+k_{3}\right).\end{aligned}}

Číslo $y_{n}$ je aproximace hodnoty $y(t_{n})$ . Aproximace se počítají jako vážené průměry čtyř jednodušších odhadů $k_{1}$ až $k_{4}$ . Zdůvodnění tohoto postupu vychází ze Simpsonova pravidla pro integrál rovnice za předpokladu, že $f$ nezávisí na $y$ .

Popsaná metoda dosahuje v jednom kroku chyby v řádu $O(h^{5})$ a celkově akumulované chyby v řádu $O(h^{4}).$ ^[1] Neuvažujeme-li vliv zaokrouhlovacích chyb, tak menší krok obvykle vede k přesnějšímu odhadu, avšak za cenu více počítání.

Reference

↑ CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Numerical methods for engineers. 7. ed. vyd. New York, NY: McGraw-Hill Education, 2015. 970 s. Dostupné online. ISBN 978-0-07-339792-4.