Kritéria konvergence řad

Kritéria konvergence jsou v matematice metody testování konvergence, podmíněné konvergence, absolutní konvergence, intervalové konvergence nebo divergence nekonečných řad ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

Kritéria konvergence

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady ${\displaystyle s\,}$ jejím ${\displaystyle n\,}$-tým částečným součtem ${\displaystyle s_{n}\,}$. U konvergentních řad se chyba ${\displaystyle |s_{n}-s|\,}$, které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím ${\displaystyle n\,}$ zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.

Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

Srovnávací kritérium

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy ${\displaystyle \sum a_{n},\sum b_{n}}$, přičemž pro všechna ${\displaystyle n\,}$ platí ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}\,}$. Řadu ${\displaystyle \sum a_{n}}$ označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě ${\displaystyle \sum b_{n}}$ a řadu ${\displaystyle \sum b_{n}}$ jako majorantní řadu (majorantu) k řadě ${\displaystyle \sum a_{n}}$. Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. ${\displaystyle \sum b_{n}}$, konverguje také minoranta, tedy ${\displaystyle \sum a_{n}}$. Diverguje-li minoranta ${\displaystyle \sum a_{n}}$, diverguje také majoranta, tedy ${\displaystyle \sum b_{n}}$.

Podílové kritérium

Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ tehdy, existuje-li reálné číslo ${\displaystyle 0<q<1}$ takové, že pro každé ${\displaystyle n}$ platí ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq q}$. Pokud je ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1}$, pak řada diverguje.

Limitní podílové kritérium

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ veličinu ${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$, pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konvergentní pro ${\displaystyle L<1\,}$, divergentní pro ${\displaystyle L>1\,}$ a pro ${\displaystyle L=1\,}$ může být konvergentní nebo divergentní.

Odmocninové kritérium

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konverguje, pokud existuje reálné číslo ${\displaystyle 0\leq q<1}$ a pro každé ${\displaystyle n}$ platí ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq q}$. Pro případ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1}$ řada diverguje.

Limitní odmocninové kritérium

Pokud pro řadu s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ zavedeme ${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}}$, pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro ${\displaystyle K<1\,}$, divergentní pro ${\displaystyle K>1\,}$ a pro ${\displaystyle K=1\,}$ může konvergovat nebo divergovat.

Raabeovo kritérium

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konvergentní tehdy, pokud existuje takové ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,r>1}$ a takové přirozené číslo ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$, že pro všechna ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ platí ${\displaystyle n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\geq r>1}$.

Jestliže existuje ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ takové, že pro všechna ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ platí ${\displaystyle n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\leq 1}$, pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ diverguje.

Limitní Raabeovo kritérium

Jestliže pro řadu s kladnými členy ${\displaystyle \sum a_{n}}$ zavedeme ${\displaystyle M=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)}$, pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro ${\displaystyle M>1\,}$, diverguje pro ${\displaystyle M<1\,}$ a pro ${\displaystyle M=1\,}$ může konvergovat i divergovat.

Integrální kritérium

Nechť ${\displaystyle \sum a_{n}}$ je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako ${\displaystyle a_{n}=f(n)\,}$. Pokud ve funkci ${\displaystyle f(n)\,}$ nahradíme diskrétní proměnnou ${\displaystyle n\,}$ spojitou proměnnou ${\displaystyle x\,}$, přičemž ${\displaystyle f(x)\,}$ bude spojitou a klesající funkcí na intervalu ${\displaystyle \langle 1,+\infty )}$, pak podle tzv. integrálního kritéria je řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x}$. Pokud integrál ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x}$ diverguje, pak diverguje také řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$.

Leibnizovo kritérium

Pro alternující řady, které zapíšeme jako ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}a_{n}}$, kde ${\displaystyle a_{n}\geq 0\,}$, lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje ${\displaystyle n_{0}}$ takové, že ${\displaystyle a_{n_{0}}>a_{n_{0}+1}>a_{n_{0}+2}>...\,}$ (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$.

Gaussovo kritérium

^[1]Nechť ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je kladná posloupnost, pro niž existují ${\displaystyle q,\alpha \in \mathbb {R} }$, kladné ${\displaystyle \varepsilon }$ a omezená posloupnost ${\displaystyle (c_{n})\,}$ taková, že pro všechny ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ platí:

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q-{\frac {\alpha }{n}}+{\frac {c_{n}}{n^{1+\varepsilon }}}}$

• Když ${\displaystyle q<1\,}$ nebo když ${\displaystyle q=1\,}$ a ${\displaystyle \alpha >1\,}$, pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konverguje.
• Když ${\displaystyle q>1\,}$ nebo když ${\displaystyle q=1\,}$ a ${\displaystyle \alpha \leq 1}$, pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}}$ diverguje.

Dirichletovo kritérium

Nechť ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je reálná posloupnost a ${\displaystyle (b_{n})\,}$ komplexní posloupnost, pro které platí:

• ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je od jistého indexu monotonní a ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$;
• ${\displaystyle (b_{n})\,}$ má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ konverguje.

Abelovo kritérium

Nechť ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je reálná posloupnost a ${\displaystyle (b_{n})\,}$ komplexní posloupnost, pro které platí:

• ${\displaystyle (a_{n})\,}$ je monotonní a omezená;
• ${\displaystyle \sum b_{n}}$ je konvergentní řada.

Pak řada ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

Příklady

Uvažujme řadu

${\displaystyle (*)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.}$

Z Cauchyova kondenzačního testu vyplývá, že (*) je konečně konvergentní, jestliže

${\displaystyle (**)\;\;\;\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }}$

je konečně konvergentní. Protože

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}}$

(**) je geometrická řada s kvocientem ${\displaystyle 2^{(1-\alpha )}}$. (**) je konečně konvergentní, jestliže její kvocient je menší než jedna (jmenovitě ${\displaystyle \alpha >1}$). Tedy (*) je konečně konvergentní právě tehdy, když ${\displaystyle \alpha >1}$.

Konvergence součinů

Většina testů sice zkoumá konvergenci nekonečných řad, ale mohou být také použity pro zjištění konvergence nebo divergence nekonečných součinů. Toho lze dosáhnout použitím následující věty: Nechť ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ je posloupnost kladných čísel. Pak nekonečný součin ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}$ konverguje právě tehdy, když konverguje řada ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$. Dále obdobně, jestliže ${\displaystyle 0<a_{n}<1}$ platí, pak ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})}$ se blíží nenulové limitě právě tehdy, když konverguje řada ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

Tvrzení lze dokázat aplikací funkce logaritmus na součin a použitím věty o porovnání limit.^[2]

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Convergence tests na anglické Wikipedii.

Související články

• L'Hospitalovo pravidlo
• Přesunové pravidlo

Literatura

• LEITHOLD, Louis. The Calculus, with Analytic Geometry. 2. vyd. New York: Harper & Row, 1972. Dostupné online. ISBN 0-06-043959-9. S. 655–737. 

Externí odkazy

• Flowchart pro výběr kritérium konvergence Archivováno 8. 8. 2010 na Wayback Machine.

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.