Triangle de Tartaglia

Cada nombre del triangle és la suma de les dues xifres superiors.

El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis.[1]

Mètode de construcció

Es comença amb un 1. 

 1

Després s'escriuen dos 1 a sota. 

  1
 1 1

A les següents files, els nombres són el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Els nombres situats als laterals, són sempre 1.[2] 

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5    10     10    5     1
                      1     6    15    20    15     6     1
                   1     7    21    35     35   21     7     1
                1     8    28    56    70    56    28     8     1
             1     9    36    84   126    126   84    36     9     1
          1    10    45   120   210   252   210   120    45    10     1

Propietats

El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.

  • En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dona una potència de 2: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , … {\displaystyle 1,2,4,8,16,32,64,\ldots } . Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:[3]

2 n = ( 1 + 1 ) n = ( n 0 ) 1 n + ( n 1 ) 1 n − 1 ⋅ 1 + ( n 2 ) 1 n − 2 ⋅ 1 2 + … + ( n n − 1 ) 1 ⋅ 1 n − 1 + ( n n ) 1 n = ( n 0 ) + ( n 1 ) + … + ( n n ) {\displaystyle 2^{n}=(1+1)^{n}={n \choose 0}1^{n}+{n \choose 1}1^{n-1}\cdot 1+{n \choose 2}1^{n-2}\cdot 1^{2}+\ldots +{n \choose n-1}1\cdot 1^{n-1}+{n \choose n}1^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose n}}

  • En segon lloc, donat un binomi a+b elevat a n, pel binomi de Newton es dona la relació següent:

( a + b ) n = ∑ k = 0 n c i a n − k b k = ( a + b ) n = {\displaystyle {(a+b)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{i}a^{n-k}b^{k}=(a+b)^{n}=} = c 0 ⋅ a n + c 1 ⋅ a n − 1 ⋅ b + c 2 ⋅ a n − 2 ⋅ b 2 + … + c n − 2 ⋅ a 2 ⋅ b n − 2 + c n − 1 ⋅ a ⋅ b n − 1 + b n {\displaystyle =c_{0}\cdot a^{n}+c_{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+c_{2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}+\ldots +c_{n-2}\cdot a^{2}\cdot b^{n-2}+c_{n-1}\cdot a\cdot b^{n-1}+b^{n}}

El triangle de Tartaglia ens permet saber els valors que prenen els factors c 0 , c 1 , c 2 , . . . , c n   {\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},...,c_{n}\ } . En el triangle, podem buscar el coeficient binomial c i = ( n i ) {\displaystyle c_{i}={n \choose i}} del desenvolupament de ( a + b ) n {\displaystyle (a+b)^{n}} de la manera següent:

En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient c i {\displaystyle c_{i}} és el terme i-èsim de la filera.

Exemples:

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2   {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\ }

( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3   {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\ }

( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4   {\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\ }

( a + b ) 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5   {\displaystyle (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\ }

Triangle de Pascal amb una alçada de 512. Al pintar els nombres segons si són senars (blau) o parells (groc), apareix el triangle de Sierpinski.
  • Les fileres de cada triangle no són simètriques, ja que: ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! = ( n n − k ) {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={n \choose n-k}}
  • Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski.
  • Diagonals:
    • Les diagonals externes són sempre uns.[4]
    • Els nombres de la sèrie de Fibonacci es troben al sumar els elements de les diagonals formades de pujar d'una fila a l'anterior una posició.[5]
    • Una diagonal més interior dona els nombres naturals (1,2,3,4,5...).
    • La següent diagonal més interior (1,3,6,10...) són nombres triangulars, és a dir, nombres amb què es poden construir triangles.[6] Si es suma cadascun d'aquests nombres amb l'anterior s'obtenen els nombres quadrats.
    • La quarta diagonal correspon als nombres tetraèdrics (s'hi poden construir tetràedres).[3][7]
    • A la cinquena diagonal, hi ha els nombres pentatòpics, que representen el nombre d'elements dels pentatops.
  • La conjectura de Singmaster postula que el nombre de vegades que apareix cada nombre major que 1 és finit. El nombre 3003 és l'únic que es coneix que apareix fins a vuit vegades al triangle.

Història

L'any 1303 matemàtics xinesos ja tenien coneixement d'aquesta matriu triangular.[8] Blaise Pascal la va redescobrir uns segles després.[4][9][10]

Bibliografia

  • Paulos, John Allen. Más allá de los números: meditaciones de un matemático. 1. ed.. Barcelona: Tusquets, 1993. ISBN 84-7223-687-0. 
  • Weisstein, Eric W. Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, 1999, p. 636. ISBN 0-8493-9640-9. 
  • Beyer, William H. Standard Mathematical Tables and Formulae. 29a ed. CRC Press, p. 279. ISBN 0-8493-0629-9. 

Referències

  1. ↑ Pascal's Triangle. MathWorld (anglès)
  2. ↑ «Leibniz and Pascal Triangles». [Consulta: 17 febrer 2022].
  3. ↑ 3,0 3,1 Paulos, 1993, p. 287.
  4. ↑ 4,0 4,1 Paulos, 1993, p. 284.
  5. ↑ «All You Ever Wanted to Know About Pascal's Triangle and more». [Consulta: 20 febrer 2022].
  6. ↑ Gardner, Martin. «15. El triángulo de Pascal». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 272. ISBN 9788491811503 [Consulta: 27 gener 2022]. «Las hileras diagonales, paralelas a los lados de la figura, dan los números triangulares y sus equivalentes en espacios de cualquier número de dimensiones.» 
  7. ↑ Gardner, Martin. «15. El triángulo de Pascal». A: Carnaval matemático (en castellà). Alianza Editorial, p. 273. ISBN 9788491811503 [Consulta: 27 gener 2022]. «La tercera diagonal contiene los números tetraédricos: cardinales de conjuntos de puntos que forman disposiciones tetraédricas en el espacio tridimensional.» 
  8. ↑ Katz, V. J.. «Binomial Theorem and the Pascal Triangle». A: A History Of Mathematics: An Introduction. UniSA, 1992. 
  9. ↑ Fox, Peter. Cambridge University Library: The great collections, 1998, p. 13. ISBN 978-0-521-62647-7. 
  10. ↑ Maor, Eli. The Story of a Number. 1994: Princeton University Press, p. 71. ISBN 0-691-05854-7. 

Vegeu també