Teorema de la integral de Cauchy

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

No s'ha de confondre amb Fórmula de la integral de Cauchy o Fórmula de Cauchy per a la integració repetida.

El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat

Si ${\displaystyle f(z)}$ és analítica en un domini simplement connex ${\displaystyle D}$ i la seva derivada és contínua en ${\displaystyle D}$, llavors per qualsevol contorn tancat simple contingut en ${\displaystyle D}$ es té:

${\displaystyle \oint _{D}f(z)dz=0\,}$

Extensió

Posteriorment, Édouard Goursat va demostrar que no era necessari considerar la hipòtesi que la derivada de ${\displaystyle f}$ fos contínua per assegurar que el valor de la integral sigui zero. D'aquesta manera:

• El teorema segueix essent vàlid quan el contorn ${\displaystyle C}$ no és simple però es talla un nombre finit de vegades.
• Sigui ${\displaystyle C}$ un contorn simple tancat, i siguin ${\displaystyle C_{j}}$ (j=1, 2, ..., n) un nombre finit de contorns simples tancats dins de ${\displaystyle C}$, tals que les regions interiors a cada ${\displaystyle C_{j}}$ no tinguin punts en comú. Sigui ${\displaystyle R}$ la regió tancada formada per tots els punts dins de ${\displaystyle C}$, llevat dels punts interiors a cada ${\displaystyle C_{j}}$. Denotem per ${\displaystyle F}$ tota la frontera orientada de ${\displaystyle R}$ formada per ${\displaystyle C}$ i tots els contorns ${\displaystyle C_{j}}$, recorreguts en un sentit tal que els punts interiors de ${\displaystyle R}$ quedin a l'esquerra de ${\displaystyle F}$. Llavors, si ${\displaystyle f}$ és analítica en tot ${\displaystyle R}$, tenim que:

${\displaystyle \oint _{F}f(z)dz=0\,}$

Arran d'aquest treball, actualment el teorema és conegut com el teorema de la integral de Cauchy-Goursat.

Conseqüències

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, es poden demostrar proposicions com la següent:

Sigui ${\displaystyle f(z)}$ analítica sobre ${\displaystyle C}$, essent ${\displaystyle z}$ un contorn tancat simple i a l'interior de ${\displaystyle C}$. Si s'agafa un punt interior "${\displaystyle z_{0}}$" de ${\displaystyle C}$, es compleix que:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if(z_{0})}$

que correspon a la fórmula de la integral de Cauchy.

Vegeu també

• Anàlisi complexa
• Fórmula de la integral de Cauchy

Enllaçós externs

• Michiel Hazewinkel (ed.). Cauchy integral theorem. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric W., «Cauchy Integral Theorem» a MathWorld (en anglès).